1996　大阪教育大学　前期MathJax

【１】　直線$l_1\text{：}x+y+1=0$は$1$次変換$f$によって直線$l_2\text{：}x-y-2=0$に移り，直線$l_2$は$f$により直線$l_3\text{：}7x-3y+4=0$に移る．このとき，

(1)　$f$を表す行列を求めよ．

(2)　直線$l_3$が$f$によって移される図形を求めよ．

【２】(1)　$F(x)=2x^3+5x^2-3x+7\text{，}G(x)=x-3$とする．このとき，$F(x)=G(x)Q(x)+r$を満たす$x$の整式$Q(x)$と実数$r$を求めよ．

(2)　$F(x)$を$x$の$1$次以上の整式，$G(x)=x-a\text{，}$ただし，$a$は実数とする．このとき，

(ⅰ)　$F(x)=G(x)Q_1(x)+F_1(x)$を満たす$x$の整式$Q_1(x)\text{，}{F}_1(x)\text{，}$ただし，$F_1(x)$の次数は$F(x)$の次数より小さい，が存在することを示せ．

(ⅱ)　$F(x)=G(x)Q(x)+r$を満たす$x$の整式$Q(x)$と実数$r$が存在することを$F(x)$の次数に関する数学的帰納法を使って証明せよ．

(3)　$F(x)$を$x$の整式とする．実数$a$に対して，$F(a)=0$となるなら，$F(x)=(x-a)Q(x)$を満たす$x$の整式$Q(x)$が存在することを示せ．

(4)　$F(x)$を$x$の$n$次式とする．このとき，方程式$F(x)=0$の相異なる実数解は$n$個以下であることを示せ．

【３】　$f$を自然数の集合から自然数の集合への写像とし，

(ⅰ)　$f(2)=2$

(ⅱ)　$f(mn)=f(m)f(n)$

(ⅲ)　$m>n$ならば$f(m)>f(n)$

が成り立つとする．このとき，

(1)　$f(1)=1\text{，}f(3)=3\text{，}f(4)=4\text{，}f(8)=8\text{，}f(12)=12\text{，}f(17)=17$を示せ．

(2)　一般に，$f(n)=n$であることを示せ．

【４】　$a={\displaystyle \frac{2\pi }{2m+1}}\text{，}$ただし，$m$は自然数，に対して，

$f(x)=x+1-\sqrt{x^2+2x\cos a+1}$

とする．このとき，

(1)　$0\leqq x\leqq 1$のとき，$0\leqq f(x)\leqq 2(1-\cos {\displaystyle \frac{a}{2}})$を示せ．

(2)　$0\leqq {\displaystyle {\int }_0^1}f(x)dx\leqq 1$を示せ．

【５】　曲線$y=\sin x\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$と$x$軸とで囲まれる部分の面積を曲線$y=k\sin {\displaystyle \frac{x}{2}}$が$2$等分するように$k$の値を求めよ．

【６】　方程式$3{\cos }^{2}x-2\cos x-a=0$の$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq x\leqq \pi$の範囲にある解の個数は実数$a$の値によってどのように変化するか調べよ．

【７】　曲線$y=-x^2+2x$と$x$軸とで囲まれる部分の面積を$S$とする．曲線$y=-x^2+2x$と曲線$y=-{\displaystyle \frac{1}{a}}{x}^2+x$とで囲まれる部分の面積を$T$とする．ただし，$a>2$とする．このとき，$S:T=9:2$となるように$a$の値を定めよ．

【８】　$r>0$とするとき，次の積分を求めよ．

(1)　${\displaystyle \frac{2}{\pi r^2}}{\displaystyle {\int }_{a-r}^{a+r}}x\sqrt{r^2-{(x-a)}^2}dx$

(2)　${\displaystyle \frac{2}{\pi r^2}}{\displaystyle {\int }_{a-r}^{a+r}}{x}^2\sqrt{r^2-{(x-a)}^2}dx$