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1996 神戸大学 前期

文科系

易□ 並□ 難□

【1】 零ベクトルでない 2 つのベクトル a b に対して, 0<m n となる整数 m n があり

2a b =m a a = nb b

が成り立つとする.このとき, a b のなす角 0°θ 90° の値と,そのときの | a | | b | の値をすべて求めよ.ただし, a b はベクトルの内積, | a | はベクトルの大きさである.

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文科系

易□ 並□ 難□

【2】  xy 平面上の 2 次曲線 C

9x 2+2 3 xy +7 y2= 60

とする.このとき,次の各問に答えよ.

(1) 曲線 C は,原点の周りに角度 θ 0 °θ 90° だけ回転すると,

ax2 +b y2=1

の形になる. θ の値と定数 a b を求めよ.

(2) 曲線 C 上の点と点 (c, -3 c) との距離の最小値が 2 であるとき, c の値を求めよ.ただし, c>0 とする.

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文科系

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【3】  3 次曲線 y= x3+ ax2 +b x+c - 1x 1 x 軸に囲まれる図形を, x 軸の周りに 1 回転させてできる体積を V とする.このとき, V を最小にする a b c の値と,そのときの V の値を求めよ.

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理科系

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【1】  O を原点とする平面上において,点 A は半円 ( x-1) 2+y 2=1 y< 0 上にある.点 B 2 OA=OB をみたし, y 軸上の正の部分にあるとする.このとき,次の各問に答えよ.

(1)  AOB= θ とするとき, 2 A B の座標を θ を用いて表せ.

(2) 線分 AB x 軸の交点を C とする.点 A を点 O に近づけるとき, OC AB2 の極限値を求めよ.

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理科系

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【2】 数列 {an } は次の関係をみたす.

a1= 0

an sinθ +an +1 cosθ =sinθ cos θ n =1 2

 ただし, - π2< θ< π2 とする.このとき,次の各問に答えよ.

(1)  an n θ を用いて表せ.

(2)  n のとき,数列 {an } が収束するような θ の範囲と,そのときの極限値 f (θ) を求めよ.

(3)  θ が(2)で求めた範囲を動くとき, f(θ ) の値の範囲を求めよ.

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理科系

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【3】 数列 {fn } は次の性質(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ)をもつとする.

(ⅰ)  f1= 0

(ⅱ)  i j が正の整数であるとき,積 i j に対して

fi j= fi+ fj

(ⅲ)  i j i< j をみたす正の整数であるとき

fi< fj

 このとき,次の各問に答えよ.

(1)  r s が正の整数であるとき,整数 sr に対して

fsr =r fs

が成り立つことを示せ.

(2)  k l をいずれも 2 以上の整数とし,正の整数 N に対して

lm< kN lm+1

をみたす 0 以上の整数 m をとる.次の不等式

mN < fkj l m +1N

が成り立つことを示せ.

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理科系

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【4】 点 P x 軸上を,負の方向から原点を通過し,正の方向に動くとする.時刻 t (秒)における,点 P の位置を表す関数を x (t) とし,点 P の速度を表す関数を v (t) とする.ただし, x(t ) v(t ) は各時刻で連続とする.

  x(t )<0 のとき,点 P の運動は次の微分方程式

d v(t) dt =32-2 v( t)

をみたし, x(t )>0 のとき,点 P の運動は次の微分方程式

d v(t )dt =24 -6v (t)

をみたす.このとき,次の各問に答えよ.

(1)  v(0 )=0 x( 0)=- 50 とする. m 秒から m+ 1 秒の間に,動点 P は原点に達する.このような整数値 m を求めよ.

(2) 原点を通過した後, n 秒から n+ 1 秒の間に,動点 P x= 10 の点を通過する.このような整数値 n を求めよ.ただし, P が原点を通過する速度は 15.9886 であるが,計算上 16 としてよい.

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理科系

易□ 並□ 難□

【5】 ある人が次のゲームを行う. 1 から 5 までの数が 1 つずつ書かれたカードが計 5 枚入った袋がある.正三角形 ABC の頂点 B を出発点にして,袋から 1 枚のカードを取り出すごとに,そのカードに書かれた数だけ BCAB の順に頂点を移動する.ただし,取り出したカードはすぐにもとの袋に戻し,よくかき混ぜるとする.ちょうど頂点 A に移動すれば,上がりとなりゲームは終了する.

 例えば,頂点 B にいるとき 1 または 4 のカードが出れば頂点 C に移動し,また頂点 C にいるとき 2 または 5 のカードが出れば頂点 B に移動する.頂点 B にいるとき, 2 または 5 のカードが出れば頂点 A に移動し,ゲームは終了する.

  n 回以下の試行でゲームが上がりとなる確率を an とする.また, n 回の試行を終えたときに,ちょうど頂点 B にいる確率を b n ちょうど頂点 C にいる確率を cn とする.このとき,次の各問に答えよ.

(1)  a2 b2 c2 を求めよ.

(2)  n2 のとき, bn+ cn bn -cn b n-1 cn- 1 を用いて表せ.

(3)  an bn cn n で表せ.

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