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1996-10601-0101
1996 神戸大学 後期
文科系
易□ 並□ 難□
【1】 関数 f ⁡(x ) を
f⁡( x)= { x2 ( x≦0 )x 3+x ( x>0 )
とする.定数 a に対して a ⁢x-f ⁡(x ) の最大値 m ⁡(a ) を求めよ.
1996-10601-0102
【2】 半径 1 の円に外接する正 n 角形( n ≧3 )の周の長さを 2 ⁢an , また半径 1 の円に内接する正 n 角形( n ≧3 )の周の長さを 2 ⁢bn とする.このとき,次の各問いに答えよ.
(1) an , bn を n で表せ.
(2) 0⁢ ° <θ< 90⁢ ° のとき,次の等式が成り立つことを示せ.
sin⁡θ = tan⁡θ 1+tan 2⁡θ ,tan⁡ θ2= tan ⁡θ1 +1+ tan2⁡ θ
(3) a12 , b12 の値を求めよ.
1996-10601-0103
【3】 xyz 空間の x 軸上に点 A ( a,0, 0) ,y 軸上に点 B ( 0,b, 0) ,z 軸上に点 C ( 0,0, 3) をとる.また x y 平面上に点 D ( 3,4, 0) をとる.ただし, a ,b は正の定数とする.このとき,次の各問いに答えよ.
(1) xy 平面上に点 Q ( α,β ,0) を AC =AQ ,BC= BQ となるようにとるとき, α ,β を a , b を用いて表せ.
(2) a=1 , b=2 とする.線分 AB 上に動点 P をとる. CP+PD が最小となるような点 P の座標を求めよ.
1996-10601-0104
理科系
【1】 数列 { fn } は
fn+ 1=2 ⁡fn -1+ fn ( n= 2, 3 ,⋯ )
となる関係がある.このとき,次の各問いに答えよ.
(1) ( fn fn +1 )=A⁢ (f n-1 fn ) ( n=2 ,3 , ⋯ ) をみたす行列 A を求めよ.
(2) (1)の行列 A に対して
A ⁢( 1 u) =a⁢( 1 u ) ,A⁢ ( 1v )= b⁢( 1 v)
をみたす a , b ,u , v を求めよ.ただし, a>b とする.
(3) (2)の u , v に対して P =( 11 uv ) とする. P-1 ⁢A⁢ P を求めよ.
(4) n≧3 のとき, fn を f1 ,f2 を用いて表せ.
1996-10601-0105
【2】 3 次関数
y=f ⁡( x)= a⁢x3 -3⁢ x2+ b⁢x ( a> 0 )
のグラフが x 軸と相異なる 3 点で交わり, y=f⁡ (x ) と x 軸で囲まれる 2 つの部分の面積が等しいとする.このとき,次の各問いに答えよ.
(1) y=f⁡ (x ) のグラフは,この曲線の変曲点に関して対称であることを示せ.
(2) x の方程式 f ⁡(x )=0 は相異なる正の 3 実数解をもつことを示し,その解を a を用いて表せ.
1996-10601-0106
【3】 y=x 4-2⁢ x2+ 1 ( 0≦x≦ 3 ) で表される曲線を y 軸のまわりに 1 回転させてできる曲面を容器として考える.この容器に毎秒 4 ⁢cm 3 の水を入れる.ただし,座標の単位は cm とする.このとき,次の各問いに答えよ.
(1) 水面の高さが h ⁢( cm ) のとき,容器に入った水の量 V( cm 3) を h を用いて表せ.
(2) 水を入れ始めてからの時刻 t ( 秒) に対して,水面の高さ h ( cm ) が 0 ≦h≦1 であるとき, h を l の関数として表せ.
(3) 水面の高さが a ( cm ) ( 0<a< 1 ) であるとき,水面の上昇する速度を r ( cm /秒 ) とする.水面の上昇する速度が 2 ⁢r( cm /秒) となるときの水面の高さ h 1 を a で表せ.
1996-10601-0107
【4】 xyz 空間の x 軸上に点 A ( a,0, 0) ,y 軸上に点 B ( 0,b, 0) ,z 軸上に点 C ( 0,0, 9) をとる.ただし, a ,b は正の定数とする.また x y 平面上に点 D ( 9,12, 0) と点 P ( 1,4, 0) をとる.このとき,次の各問いに答えよ.
(1) 直線 PD 上に点 C1 を C1 P= CP となるようにとる.点 C1 の座標を求めよ.
(2) xy 平面上の点 C2 ( α,β ,0) を AC =AC2 ,BC =BC2 となるようにとるとき, α ,β を a , b を用いて表せ.
(3) 線分 AB 上に動点 R をとる. CR+RD が最小となる R の位置は P であるという. a ,b の値を求めよ.
1996-10601-0108
【5】 力が均衡している 3 人の力士 A ,B , C で勝ち抜き戦を行う. 2 連勝すれば優勝である.最初に A と B が対戦する.その勝者を例えば A とすると,次に A は C と戦う.そのとき, A が勝てば A が優勝となり, C が勝てば次に C は B と戦う.優勝が決まるまでこのような組合せで対戦する. 1 回相撲を取った力士は, 1 回休んで疲労を回復した力士と対戦するとき,勝つ確率は 12 -α (0 <α< 12 ) である.何回相撲を取った後でも 1 回休むことにより,完全に疲労を回復することができるとする.このとき,次の各問いに答えよ.
(1) 最初の A と B の対戦で A が勝ったとき, A が優勝する確率 P 1 を α を用いて表せ.
(2) A が優勝する確率 P を α を用いて表せ.