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1996-10721-0101
1996 広島大学 前期
代数幾何・基礎解析
易□ 並□ 難□
【1】 四面体 ABCD において, OA→ =a→ , OB→ =b→ , OC→ =c→ とし, ▵OAB , ▵OBC , ▵OCA , ▵ABC の面積を,それぞれ S1 ,S 2 ,S 3 ,S4 とする.
(1) S1 =1 2⁢ | a→ | 2⁢ | b→ | 2- (a →⋅ b→ )2 であることを示せ.
(2) a→ ⊥BC→ ,b →⊥ AC→ のとき, a→ ⋅b →= b→ ⋅c→ =c →⋅ a→ であることを示せ.
(3) (2)において,さらに | a→ |= | b→ |= | c→ |= 1 のとき, S1 2+ S22 +S 32- S42 を最大にする a → と b → とのなす角を求めよ.
1996-10721-0102
【2】 放物線 y =m⁢ x2 上に点 P ( a,m⁢ a2 ) がある.この放物線の点 P における接線に垂直な直線を l とする. l がこの放物線と 2 点 P ,Q で交わるとして,次の問いに答えよ.ただし, m>0 , a≠0 とする.
(1) 点 Q の x 座標を求めよ.
(2) 点 Q における接線と l とのなす角が 30 ⁢° となる点 P の座標を求めよ.
1996-10721-0103
【3】 数列 { an } を次のように定める.
a1 = 13 , an +1 =2⁢ an⁢ (1 -an ) ( n=1 , 2 ,⋯ )
(1) すべての自然数 n に対して, an < 12 であることを示せ.
(2) 数列 { bn } を次のように定める.
bn= log10 ⁡( 1-2⁢a n) ( n =1 ,2 , ⋯ )
このとき, bn+ 1 と b n の関係式を求めよ.
(3) 数列 { an } の一般項を求めよ.
1996-10721-0104
【4】 xy 平面上の曲線 C と直線 l を次のように定める.
C:y= x⁢ (x- 3) 2 ,l :y=m ⁢x
(1) C と l が x ≧0 において異なる 3 点で交わるような m の範囲を求めよ.
(2) (1)で, C と l で囲まれる 2 つの図形の面積が等しくなる m の値を求めよ.
(3) (2)のとき, 2 つの図形の面積の和を求めよ.
1996-10721-0105
【5】 行列 A =( 1-t t 1 ) で表される 1 次変換を f とする.原点 O (0 ,0 ) 以外の 1 点を P1 ( a1, b1 ) とし, P1 が f により移された点を P2 ( a2, b2 ) とする.原点以外の点 P に対して,点 P を中心として原点 O を通る円を C P で表すことにして,次の問いに答えよ.ただし, t≠0 とする.
(1) f は CP 1 を C P2 に移すことを示せ.
(2) O P1 → ⊥ P1 P2 → であることを示せ.
(3) CP 1 と C P2 との交点の座標を求めよ.
1996-10721-0106
代数幾何・基礎解析・微分積分・確率統計
【1】 ▵OAB において,辺 OA を s :1-s に内分する点を P , 辺 OB を t :1-t に内分する点を Q とする.また BP と AQ との交点を R ,OR の延長と辺 AB との交点を S とする. OA→ =a→ , OB→ =b→ , 0<s <1 ,0< t<1 として,次の問いに答えよ.
(1) OR→ を, a→ , b→ , s ,t で表せ.
(2) OS→ を, a→ , b→ , s ,t で表せ.
(3) S が AB の中点になるための条件を求めよ.
1996-10721-0107
【2】 さいころを振る実験を 2 ⁢n 回繰り返す.このとき確率変数 X n は k 回目の実験結果が偶数のとき +1 , 奇数のとき -1 の値をとるものとする.いま -x ≦ ∑k =12 ⁢n Xn ≦x が起こる確率を p x として,次の問いに答えよ.
(1) p0 の値を求めよ.
(2) p2 ⁢n-3 -p 2⁢n -6 の値を求めよ.ただし, n≧3 とする.
1996-10721-0108
【3】 次の問いに答えよ.
(1) すべての自然数 n に対して, 2n >n であることを示せ.
(2) 数列の和 Sn= ∑ k=1 nk ⁢ ( 14 ) k-1 を求めよ.
(3) limn →∞ Sn を求めよ.
1996-10721-0109
【4】 点 O を原点とする座標平面上を動く点 P ( 1+t 2,2 -2⁢t ) がある. OP が x 軸の正の向きとなす角を θ とする. t が実数全体を動くとき, θ の動く範囲を求めよ.ただし, - π2 <θ< π 2 とする.
1996-10721-0110
【5】 関数 f ⁡( x)= ∫ -xx t ⁢sin⁡ t1+ 2t ⁢ dt について,次の問いに答えよ.
(1) f⁡( x) の導関数 f ′⁡( x) を求めよ.
(2) 0≦x ≦2⁢π のとき, f⁡( x) の最小値を求めよ.
1996-10721-0111
【6】 球面 x2+ y2+ z2= 1 と平面 α :z=3 ⁢x-1 とが交わってできる円を C とする.
(1) C の中心の座標と半径を求めよ.
(2) 点 P ( 0,0, k) を通り平面 α に垂直で y 軸に平行な平面 β が C と交わってできる 2 点を Q ,R とする. ▵PQR が正三角形となるような k の値を求めよ.ただし, -1< k<1 とする.