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1996-10721-0201
1996 広島大学 後期
学校教育(中学数学)学部
易□ 並□ 難□
【1】 方程式 A ⁢x2 +B⁢x ⁢y+C ⁢y2 =1 の表す図形は,焦点が x 軸上にある双曲線を原点のまわりに 30 ⁢° 回転したものである.定数 A , B ,C が満たす条件を求めよ.
1996-10721-0202
【2】 空間内に 4 点 A ( 1,1, 2) ,B ( -1,0 ,0) ,C ( 2,-1 ,0) ,D ( 0,2, 0) と平面 α :-x-y +z=2 がある.直線 AB と α との交点を P , 直線 AC と α との交点を Q , 直線 AD と α との交点を R とする.次の問いに答えよ.
(1) 内積 PQ→ ⋅PR→ を求めよ.
(2) 四面体 APQR の体積を求めよ.
1996-10721-0203
【3】 2 次関数 f ⁡(x )= x2+ a⁢x+ b が次の条件(ⅰ),(ⅱ)を満たすように定数 a , b を定めよ.
(ⅰ) ∫ 0π2 f⁡( x)⁢ sin⁡x⁢ dx=0
(ⅱ) ∫ 0π2 f⁡ (x) ⁢cos⁡x ⁢dx= 0
1996-10721-0204
【4】 次の問いに答えよ.
(1) 0<a <b ,0 <t<1 のとき,不等式
log⁡( t⁢a+ (1- t)⁢ b)> t⁢log⁡ a+( 1-t) ⁢log⁡b
が成り立つことを証明せよ.
(2) 0<x < π4 のとき,(1)の不等式を利用して
log⁡( cos⁡x) >tan⁡x ⁢log⁡( sin⁡x) +(1 -tan⁡x )⁢ log⁡( cos⁡x +sin⁡ x)
を導け.
(3) 0<x < π4 のとき,不等式
( cos⁡x ) cos⁡x >( sin⁡x )sin ⁡x
1996-10721-0205
理(数学)学部
【1】 四面体 OABC において, a→ =OA → ,b →= OB→ , c→ =OC → とする.いま,
|a →| =| b→ |= |c →| =1 ,a →⋅ b→ =b→ ⋅c →= c→⋅ a→
が満たされているとする.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) ▵ABC は正三角形であることを示せ.
(2) t=a →⋅ b→ =b→ ⋅c →= c→ ⋅a→ とおくとき, | a→ +b→ +c→ | 2 を t を用いて表せ.また, t は - 12≦ t≦1 を満たすことを示せ.
(3) 四面体 OABC の体積 V を t を用いて表せ.
(4) V が最大値をとるときの ∠AOB の大きさを求めよ.
1996-10721-0206
【2】 整数を成分とする行列 A =( ab cd ) について,以下の問いに答えよ.
(1) A2 の成分がすべて 5 の倍数であることと, a+d , a⁢d -b⁢c がともに 5 の倍数であることは同値であることを示せ.
(2) A が逆行列 A -1 をもち,しかも A -1 の成分がすべて整数ならば, A2 の成分のうち 5 の倍数でないものがあることを示せ.
1996-10721-0207
【3】 微分方程式
d2y dx2 -2 ⁢ d ydx =x ⁢e- x
を考える.ただし e は自然対数の底である.
(1) y を上の微分方程式の解としたとき, z=e -2⁢ x⁢ dy dx として, z の満たす微分方程式を求めよ.
(2) z を求めよ.
(3) y を求めよ.
1996-10721-0208
【4】 放物線 C :y=a ⁢x2 +1 と,直線 l :y=m ⁢x が, 1 点 P で接しているとして,以下の問いに答えよ.ただし, a>0 , m>0 とする.
(1) a を m を用いて表せ.
(2) P の座標を m を用いて表せ.
(3) 直線 l , y 軸, P を通り x 軸に平行な直線,の 3 直線で囲まれた部分を A とする. A は放物線 C によって 2 つの部分に分かれるが,そのうち境界に原点を含むほうを A1 , そうでないほうを A 2 とする. A1 , A2 軸のまわりに回転させてできる回転体の体積をそれぞれ V1 ,V 2 とするとき, V 2V1 の値を求めよ.
1996-10721-0209
【5】 解答欄に記号 A と B で答える問題が 5 問あり,各問題とも正解は 3 点である.解答欄には,必ず A か B のどちらかで答えるものとして,以下の問いに答えよ.
(1) でたらめに記号 A と記号 B を解答欄に書き込むとき, 3 問以上正解になる確率を求めよ.
(2) 解答欄にでたらめに記号 A と記号 B を書き込むとき,得点の期待値を求めよ.
(3) あらかじめ A が正解の問題が 3 問, B が正解の問題が 2 問あることが分かっているとする.記号 A と記号 B をでたらめに解答欄に書き込むとき,得点の期待値を最大にするには, A を何か所, B を何か所に使えばよいか.また,そのときの得点の期待値を求めよ.