1996　九州大学　前期MathJax

【１】　一辺の長さが$1$の正六角形$\mathrm{ABCDEF}$に内接する円の中心を$\mathrm{O}$とし，その円周上の点を$\mathrm{P}$とする．次の問いに答えよ．

1.　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AF}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\overrightarrow{x}$とするとき，内接円のベクトル方程式を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{x}$で表せ．

2.　線分$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表せ．

3.　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=k\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を満たす$k$の値をすべて求めよ．

【２】　$x$軸の正の部分を始線として，角$\theta$の動径と，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円との交点を$\mathrm{P}$とする．行列$\left(\begin{array}{cc}2& \sqrt{3}\\ \sqrt{3}& 0\end{array}\right)$で表される一次変換を$f$とするとき，次の問いに答えよ．

1.　ベクトル$f(\overrightarrow{\mathrm{OP}})$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$の内積を$\theta$の関数で表し，その関数の$0\leqq \theta \leqq \pi$における最大値と最小値を求めよ．

2.　上で求めた関数の最大値を与える$\theta$に対して，$f(\overrightarrow{\mathrm{OP}})$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$は平行であることを示せ．

【３】　実数$\alpha$と$\beta$は$\alpha \leqq \beta \text{，}\alpha \ne 0\text{，}\beta >0$を満たし

$f(x)={\displaystyle \frac{3}{\alpha \beta }}(x-\alpha )(x-\beta )\text{，}F(x)={\displaystyle {\int }_0^x}f(t)dt$

とする．次の問いに答えよ．

1.　${\displaystyle {\int }_0^{\beta }}|f(x)|dx$を$F(\alpha )$と$F(\beta )$で表せ．

2.　$\alpha ={\beta }^2$のとき，${\displaystyle {\int }_0^{\beta }}|f(x)|dx$を最小にする$\beta$を求めよ．

【４】　原点$\mathrm{O}$から出発して，座標平面上を$x$軸の正の方向，または$y$軸の正の方向に$1$だけ進むことを次々に行って得られる経路を道という．右の図は，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}(4,2)$とを結ぶ道の例である．原点と点$(i,j)$を結ぶ，領域$\{(x,y)|x\geqq y\}$内の道の総数を$N(i,j)$とする．次の問いに答えよ．

1.　$N(2,2)\text{，}N(3,1)\text{，}N(3,2)$を求めよ．

2.　$n\geqq 1$のとき，$N(n,1)$を求めよ．

3.　$n\geqq 3$のとき，$N(n,2)$を$N(n,1)$と$N(n-1,2)$で表し，$N(n,2)$を求めよ．

【１】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$に対して，行列$B^{-1}AB$が表す一次変換を$f$とする．ただし，$0\leqq \theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$である．次の問いに答えよ．

1.　点$\mathrm{P}(\sin \theta ,\cos \theta )$の$f$による像を求めよ．

2.　$f$が直線$y=x$をそれ自身に移すとき，$\theta$の値を求めよ．

3.　上で求めた$\theta$に対して，$f$は原点を通るある直線に関する対称移動であることを示し，その直線の方程式を求めよ．

【２】　原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の球面を$S$とし，$\mathrm{P}({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}},{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}},{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}})$を$S$上の点とする．点$\mathrm{P}$を通る平面$\alpha$に対して$S$と$\alpha$が交わってできる円周を$C$とする．次の問いに答えよ．

1.　平面$\alpha$上での点$\mathrm{P}$における$C$の接線$l$は，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$に直交することを示せ．

2.　球面$S$と点$\mathrm{P}$で接する平面を$\beta$とする．平面$\beta$と$xy$平面とのなす角を$\theta$として，$\cos \theta$を求めよ．

3.　平面$\alpha$が点$({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},0,0)$を通り，さらに直線$l$と$xy$平面とのなす角が上で求めた$\theta$であるとする．このとき，平面$\alpha$の方程式を求めよ．

【３】　自然数$n>1$に対して${\alpha }_n=\log [(n-1)!]+{\displaystyle \frac{1}{2}}\log n$とする．次の問いに答えよ．

1.　曲線$y=\log x$上の点$(k,\log k)$における接線と$2$直線$x=k-{\displaystyle \frac{1}{2}}$と$x=k+{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$および$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．ただし，$k\geqq 2$とする．

2.　$\log [(n-1)!]>(n-{\displaystyle \frac{1}{2}})\log (n-{\displaystyle \frac{1}{2}})-{\displaystyle \frac{3}{2}}\log \left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)-(n-2)$を示せ．

3.　$a_n>n\log n-n+{\displaystyle \frac{3}{2}}[1-\log ({\displaystyle \frac{3}{2}}\left)\right]$を示せ．

【４】　$1$から$9$までの数字が$1$つずつ書いてあるカードが，それぞれ$1$枚ずつ，合計$9$枚ある．これらを$3$枚ずつの$3$つのグループに無作為に分け，それぞれのグループから最も小さい数の書かれたカードを取り出す．次の問いに答えよ．

1.　取り出された$3$枚のカードの中に$4$が書かれたカードが含まれている確率を求めよ．

2.　取り出された$3$枚のカードに書かれた数字の中で$4$が最大である確率を求めよ．

【５】　$0$と$1$を有限個並べたものを語ということにする．語の例としては$0\text{，}010\text{，}00101\text{，}100110$などがある．いま$2$つの語$A=1\text{，}B=10$をもとにして

$C_1=A\text{，}{C}_2=B\text{，}{C}_n=C_{n-2}{C}_{n-1}{C}_{n-\mathrm{２}}\text{，}\text{（}n\geqq 3\text{）}$

のように定める．例えば，$C_3=1101$である．次の問いに答えよ．

1.　$n\geqq 3$のとき，語$C_n$に対して，最初，または最後の数字を$1$個か$2$個取りさると，残りは同じ語が循環して現れている．このことを数学的帰納法により示せ．

2.　語$C_n$に現れる$0$の個数を$a_n$とし，$1$の個数を$b_n$とする．$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_n}{b_n}}$を求めよ．