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1996-10842-0201
1996 九州大学 後期
工学部
配点40点
易□ 並□ 難□
【1】 t を正の実数とする.曲線 y =x2 上の相異なる 2 点 P ( t,t2 ) ,Q ( s,s2 ) に対し,点 P におけるこの曲線の法線 h と線分 PQ の垂直二等分線 l との交点を R とする.
(1) 点 Q を点 P に限りなく近づけるとき,点 R はある点 R0 に限りなく近づく.その点 R0 の座標を求めよ.
(2) 点 R0 を中心とし線分 R0 P の長さを半径とする円 K と曲線 y =x2 の共有点のうち, P 以外の点 P′ の座標を求めよ.
(3) 3 点 P , R0 , P ′ が同一直線上にあるとき,円 K の内部のうちで y ≦x2 となる部分の面積を求めよ.
1996-10842-0202
配点35点
【2】 次の行列 A で表される 1 次変換によって,点 O を原点とする座標平面上の点 P ( 1,1 ) が点 Q に移されたとする.
A=( a ⁢cos⁡θ -a⁢ sin⁡θ b⁢ sin⁡θ b⁢cos ⁡θ )
ただし, θ は実数で, a ,b はともに正の定数である.
(1) 点 O ,P , Q が同一直線上にあるとき,線分 OQ の長さを a と b を用いて表せ.
(2) 3 点 O ,P , Q が三角形をなすとき,その面積を S とする.
α= 3+ 12 , b= 3-1 2 のとき,面積 S を θ の関数とみてその最大値を求めよ.
1996-10842-0203
【3】 θ (- π 3≦ θ≦ π3 ) を媒介変数として
x=a⁢ cos⁡2⁢ θ ,y= b⁢sin⁡ 3⁢θ
で表される曲線 C がある.ただし, a ,b はともに正の定数である.
(1) 曲線 C で囲まれる部分の面積 S を求めよ.
(2) 曲線 C 上の点で F =x+y を最大とする θ を θ 0 とする. sin⁡θ 0 を a と b を用いて表せ.
1996-10842-0204
【4】 T を正の定数とする. 0≦t で定義された連続関数 y ⁡(t ) は, k=0 , 1 ,2 , ⋯ に対し
k⁢T< t<(k +1 2) ⁢T のとき, dyd t+ y=1 ,
(k+ 12 ) ⁢T<t <(k +1) ⁢T のとき, dyd t+ y=0
のように交互に 2 つの微分方程式を満たす.
y⁡( k⁢T) =limt -k⁢ T→0 y⁡( t)= limT- k⁢T→ 0y⁡ (t) ,
y⁡( (k+ 12 ) ⁢T)= limt- (k+1 2) ⁢T→0 y⁡( t)= limt- (k+ 12 )⁢ T→0 y⁡( t)
を考慮して,以下の問いに答えよ.
(1) y⁡( k⁢T ) と y⁡(( k+ 12 )⁢ T) の間の関係式および y ⁡((k + 12 )⁢ T) と y ⁡( (k+ 1)⁢ T) の間の関係式を求めよ.
(2) y⁡( k⁢T ) と y ⁡(( k+1) ⁢T) の間の関係式を導き, y⁡( 0)= 0 としたときの y ⁡(k ⁢T) を k と T を用いて表せ.
(3) 極限値 limk→ ∞y ⁡(k ⁢T) を求めよ.