1996　九州大学　後期MathJax

【１】　$t$を正の実数とする．曲線$y=x^2$上の相異なる$2$点$\mathrm{P}(t,t^2)\text{，}\mathrm{Q}(s,s^2)$に対し，点$\mathrm{P}$におけるこの曲線の法線$h$と線分$\mathrm{PQ}$の垂直二等分線$l$との交点を$\mathrm{R}$とする．

(1)　点$\mathrm{Q}$を点$\mathrm{P}$に限りなく近づけるとき，点$\mathrm{R}$はある点${\mathrm{R}}_0$に限りなく近づく．その点${\mathrm{R}}_0$の座標を求めよ．

(2)　点${\mathrm{R}}_0$を中心とし線分${\mathrm{R}}_0\mathrm{P}$の長さを半径とする円$K$と曲線$y=x^2$の共有点のうち，$\mathrm{P}$以外の点${\mathrm{P}}^{\prime }$の座標を求めよ．

(3)　$3$点$\mathrm{P}\text{，}{\mathrm{R}}_0\text{，}{\mathrm{P}}^{\prime }$が同一直線上にあるとき，円$K$の内部のうちで$y\leqq x^2$となる部分の面積を求めよ．

【２】　次の行列$A$で表される$1$次変換によって，点$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の点$\mathrm{P}(1,1)$が点$\mathrm{Q}$に移されたとする．

$A=\left(\begin{array}{cc}a\cos \theta & -a\sin \theta \\ b\sin \theta & b\cos \theta \end{array}\right)$

ただし，$\theta$は実数で，$a\text{，}b$はともに正の定数である．

(1)　点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$が同一直線上にあるとき，線分$\mathrm{OQ}$の長さを$a$と$b$を用いて表せ．

(2)　$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$が三角形をなすとき，その面積を$S$とする．

　$\alpha ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}+1}{2}}\text{，}b={\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{2}}$のとき，面積$S$を$\theta$の関数とみてその最大値を求めよ．

【３】　$\theta (-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{3}})$を媒介変数として

$x=a\cos 2\theta \text{，}y=b\sin 3\theta$

で表される曲線$C$がある．ただし，$a\text{，}b$はともに正の定数である．

(1)　曲線$C$で囲まれる部分の面積$S$を求めよ．

(2)　曲線$C$上の点で$F=x+y$を最大とする$\theta$を${\theta }_0$とする．$\sin {\theta }_0$を$a$と$b$を用いて表せ．

【４】　$T$を正の定数とする．$0\leqq t$で定義された連続関数$y(t)$は，$k=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots$に対し

$kT<t<(k+{\displaystyle \frac{1}{2}})T$のとき，${\displaystyle \frac{dy}{dt}}+y=1\text{，}$

$(k+{\displaystyle \frac{1}{2}})T<t<(k+1)T$のとき，${\displaystyle \frac{dy}{dt}}+y=0$

のように交互に$2$つの微分方程式を満たす．

$y(kT)=\underset{t-kT\to 0}{\lim }y(t)=\underset{T-kT\to 0}{\lim }y(t)\text{，}$

$y\left(\right(k+{\displaystyle \frac{1}{2}})T)=\underset{t-(k+\frac{1}{2})T\to 0}{\lim }y(t)=\underset{t-(k+{\displaystyle \frac{1}{2}})T\to 0}{\lim }y(t)$

を考慮して，以下の問いに答えよ．

(1)　$y(kT)$と$y\left(\right(k+{\displaystyle \frac{1}{2}})T)$の間の関係式および$y\left(\right(k+{\displaystyle \frac{1}{2}})T)$と$y((k+1)T)$の間の関係式を求めよ．

(2)　$y(kT)$と$y((k+1)T)$の間の関係式を導き，$y(0)=0$としたときの$y(kT)$を$k$と$T$を用いて表せ．

(3)　極限値$\underset{k\to \infty }{\lim }y(kT)$を求めよ．