1996　九州工業大学　前期MathJax

【１】　座標空間において，平面$z=1$上の点$\mathrm{P}(s,t,1)\text{（}s>0\text{，}t>0\text{）}$より$yz$平面，$zx$平面，$xy$平面におろした垂線の足をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$とする．また，点$\mathrm{P}$より$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を通る平面$\alpha$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．

(ⅰ)　ベクトル$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を$s$と$t$で表せ．また，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$と$\sin \theta$を$s$と$t$で表せ．

(ⅱ)　三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$を$s$と$t$で表せ．

(ⅲ)　平面$\alpha$の方程式を$s$と$t$を用いて表せ．

(ⅳ)　線分$\mathrm{PH}$の長さ$h$を$s$と$t$で表せ．

(ⅴ)　点$\mathrm{P}(s,t,1)$が$S=2\sqrt{3}$を満たしながら動くとき，$h^2$が最大となる点$\mathrm{P}$の座標およびそのときの$h^2$の値を求めよ．

【２】　座標平面上にベクトル$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}a\\ {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\end{array}\right)\text{（}a>0\text{）}$がある．$1$次変換$f$によって，ベクトル$\overrightarrow{p}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$はベクトル$f(\overrightarrow{p})=\overrightarrow{p}-(\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{u})\overrightarrow{u}$に移されるとする．ただし，$\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{u}$は$\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{u}$の内積を表す．

(ⅰ)　$f$を表す行列$A$を求めよ．

(ⅱ)　$f$によって，直線$y=\sqrt{2}x$が自分自身に移されるとき，$a$の値を求めよ．

(ⅲ)　$f$によって，だ円$C\text{：}{x}^2+2y^2=2$がだ円$4x^2+2y^2=3$に移されるとき，$a$の値を求めよ．

(ⅳ)　$f$によって，平面全体が直線$y=mx$に移されるとする．このとき，だ円$C$は線分$L\text{：}y=mx\text{（}\alpha \leqq x\leqq \beta \text{）}$に移される．$a$と$m$の値を求めよ．また，$\alpha$と$\beta$の値を求めよ．

【３】　$n$を自然数とし，$f_n(x)={\displaystyle \frac{n^{2}x}{{(n^2{x}^2+3)}^2}}$とする．

(ⅰ)　$f_n(x)$の増減と極値を調べて，$y=f_n(x)$のグラフをかけ．また，$f_n(x)$の最大値と最小値を求めよ．

(ⅱ)　$\underset{n\to n}{\lim }{f}_n(x)$を求めよ．

(ⅲ)　不定積分${\displaystyle \int }{f}_n(x)dx$を求めよ．

(ⅳ)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^{\frac{1}{n}}}{f}_n(x)dx$と$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^n}{f}_n(x)dx$を求めよ．

【４】(ⅰ)　不定積分${\displaystyle \int }x{e}^{x}dx\text{，}{\displaystyle \int }x{e}^{2x}dx$および${\displaystyle \int }{x}^2{e}^{x}dx$を求めよ．

(ⅱ)　不等式$e^x-x>x$が成り立つことを示せ．ただし，必要ならば$\log 2=0.693\cdots$を用いてよい．

(ⅲ)　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において，曲線$C\text{：}y=e^x-x$と$3$直線$y=x\text{，}y=-x+1\text{，}y=-x+e$で囲まれた図形を$D$とする．

(a)　曲線$C$上の点$\mathrm{P}(t,e^t-t)\text{（}0\leqq t\leqq 1\text{）}$から直線$y=x$にひいた垂線の足を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{OQ}$の長さ$X$と線分$\mathrm{PQ}$の長さ$Y$を$t$で表せ．

(b)　$D$を直線$y=x$のまわりに回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

【１】(ⅰ)　$-{\displaystyle \frac{1}{2}}\pi \leqq x\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}\pi$の範囲で，$2$つの曲線$y=2{\cos }^{2}x\text{，}y=\sin 2x$の交点の$x$座標を求めよ．

(ⅱ)　$-{\displaystyle \frac{1}{2}}\pi \leqq x\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}\pi$の範囲で，$2$つの曲線$y=2{\cos }^{2}x\text{，}y=\sin 2x$によって囲まれる部分の面積を求めよ．

(ⅲ)　$x$を$0$から${\displaystyle \frac{1}{2}}\pi$まで動かしたとき，空間における$3$点$(x,0,x)\text{，}(x,2{\cos }^{2}x,0)\text{，}(x,\sin 2x,0)$がつくる三角形の内部が通過してできる立体の体積を求めよ．

【２】　時刻$n=1\text{，}2\text{，}\cdots$において，独立に$1$または$-1$を発生する装置があり，装置が$1$を発生する確率は$p\text{（}0<p<1\text{）}$であるとする．時刻$n$までに発生した数の和を$S_n$とするとき，$S_n=2$または$S_n=-2$となった最初の時刻$n$において装置は停止するものとする．

(ⅰ)　時刻$2$で和が$S_2=0$となる確率$P_2\text{，}$および，時刻$2$で和が$S_2=2$となって装置が停止する確率$Q_2$を求めよ．

(ⅲ)　時刻$2n$で和が$S_{2n}=0$となる確率$P_{2n}\text{，}$および，時刻$2n$で和がはじめて$S_{2n}=2$となって装置が停止する確率$Q_n$を求めよ．

(ⅲ)　時刻$2n$以内に装置が停止する確率を求めよ．

(ⅳ)　和が$2$となって装置が停止する確率と，和が$-2$となって装置が停止する確率を求めよ．

(ⅴ)　装置が停止する時刻$n$の期待値を求めよ．

【３】　右図のように，だ円${\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2+y^2=1$に外接する長方形$\mathrm{ABCD}$とだ円との各接点とその座標を$\mathrm{P}(x_0,y_0)\text{，}\mathrm{Q}(x_1,y_1)\text{，}{\mathrm{P}}^{\prime }(-x_0,-y_0)\text{，}{\mathrm{Q}}^{\prime }(-x_1,-y_1)$とする．ただし，$0\leqq x_0<2\text{，}0<x_1\leqq 2$とする．

(ⅰ)　線分$\mathrm{AB}$の長さを$x_0\text{，}{y}_0$を用いて表し，線分$\mathrm{BC}$の長さを$x_1\text{，}{y}_1$を用いて表せ．

(ⅱ)　${y_0}^2\text{，}{x_1}^2\text{，}{y_1}^2$を${x_0}^2$を用いて表し，長方形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$を$x_0$のみを用いて表せ．

(ⅲ)　長方形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$が最大となるための$x_0$の値と，そのときの線分$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{BC}$の長さの比$\mathrm{AB}:\mathrm{BC}$を求めよ．