1996　札幌医科大学　A日程MathJax

【１】(1)　$1\text{，}1\text{，}2\text{，}2$を$4$個の成分にもつ行列$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$のうち，逆行列をもつ行列をすべて求めよ．

(2)　(1)で求めた逆行列をもつ行列すべての和を$B$とするとき，自然数$n$に対して$B^n$を求めよ．

(3)　$B^n$の$(1,1)$成分が$5^{10}$を越える最小の自然数$n$を求めよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771$とする．

【２】(1)　関数$y=f(x)$が逆関数をもつとし，その逆関数を$y=g(x)$とするとき，$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフは直線$y=x$に関して対称であることを示せ．

(2)　$a>0$とし，関数$y=e^{ax}$の逆関数を$y=g(x)$とする．$2$つの曲線$C\text{：}y=e^{ax}$と$C^{\prime }\text{：}y=g(x)$を考える．

(ⅰ)　$C$と$C^{\prime }$が共有点をもてば，その点は直線$y=x$上にあることを示せ．

(ⅱ)　$C$と$C^{\prime }$がただ$1$つの共有点をもつとき，$a$の値をその共有点の座標を求めよ．

【３】(1)　自然数$n$に対して

$R_n(x)={\displaystyle \frac{1}{1+x}}-(1-x+x^2-\cdots +{(-1)}^n{x}^n)$

とするとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^1}{R}_n(x)dx$と$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^1}{R}_n(x^2)dx$を求めよ．

(2)　(1)を利用して，次の無限級数を求めよ．

(ⅰ)　$1-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}+\cdots$

(ⅱ)　$1-{\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{5}}-{\displaystyle \frac{1}{7}}+\cdots$

【４】　$\mathrm{A}$君がときどき買い物に行く店には$30$円で$1$回引けるくじがある．店の主人が「当たりは$4$割入っているよ」と言うので，$5$回引けば$2$回ぐらいは当たりそうだと思うが，実際はなかなか当たらない．

(1)　$\mathrm{A}$君は今月$3$回このくじを引いて$1$度も当たっていないこと思い出した．このくじを$1$回引いて当たる確率はいつも${\displaystyle \frac{2}{5}}$であると仮定し，独立に$3$回引いて当たる回数を表す確率変数を$X$とするとき，$X$の確率分布を表にすると右の表のようになる．

(ⅰ)　(ア)〜(エ)にあてはまる数を解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅱ)　このような確率分布を二項分布といい，$X$の平均は${\displaystyle \frac{6}{5}}\text{，}$分散は${\displaystyle \frac{18}{25}}$である．$X$の平均と分散を確率分布の表から直接計算するための式を示せ．

(2)　$\mathrm{A}$君はもっと詳しく調べることにして，小づかい帳を開いて調べたところ，$3$年間に$120$回引いて$32$回当たっていることがわかった．このくじを$1$回引いて当たる確率はいつも${\displaystyle \frac{2}{5}}$であると仮定し，このくじを独立に$120$回引いて当たる回数を表す確率変数を$Y$とする．$Y$の平均$m\text{，}$標準偏差を$\sigma$として，空欄(オ)〜(コ)にあてはまることば，数または式を解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅰ)　$Y$の$1$次式で表される確率変数$Z=\boxed{\text{(オ)}}Y+\boxed{\text{(カ)}}$の平均は$0\text{，}$分散は$1$で，$Y$が$32$以下である確率$P(Y\leqq 32)$は$Z$が$\boxed{\text{(キ)}}$以下である確率に等しい．

(ⅱ)　$m\text{，}\sigma$の値はそれぞれ$m=\boxed{\text{(ク)}}\text{，}\sigma =\boxed{\text{(ケ)}}$である．

(ⅲ)　$Y$の確率分布は二項分布であるが，$\boxed{\text{(コ)}}$分布で近似できる．したがって，$Z$の確率分布も$\boxed{\text{(コ)}}$分布で近似することができ，平均$0\text{，}$分散$1$の$\boxed{\text{(コ)}}$分布の表から$Z$が$\boxed{\text{(キ)}}$以下である確率を読みとれば，$P(Y\leqq 32)$の近似値が求められる．

(3)　(2)のようにして$P(Y\leqq 32)$の近似値を実際に調べたところ約$0.0014$であった．この値から店の主人のことばの真偽をどのように判断すべきか記せ．