1996　東京都立大　A日程MathJax

【１】　平面上に，三角形$\mathrm{OAB}$とこれと一点$\mathrm{O}$のみで交わる直線$l$とがある．頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$から$l$に引いた垂線と$l$との交点をそれぞれ$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$とするとき，次の$3$直線$l_1\text{，}{l}_2\text{，}{l}_3$は一点で交わることを示せ．

$l_1:\mathrm{C}$を通り直線$\mathrm{OB}$に垂直な直線

$l_2:\mathrm{D}$を通り直線$\mathrm{OA}$に垂直な直線

$l_3:\mathrm{O}$を通り直線$\mathrm{AB}$に垂直な直線

【２】(1)　曲線$y=x^3-x$上の点$(t,t^3-t)$における接線の方程式を求めよ．

(2)　点$(a,b)$から曲線$y=x^3-x$へ異なる$3$本の接線が引けるとする．このような点$(a,b)$の存在する範囲を図示せよ．

【３】　$n$を自然数とし，二つの曲線$y=x^n$と$y^2=x$で囲まれる図形を$F$とする．

(1)　$F$の面積$S$を求めよ．

(2)　$F$を$x$軸のまわりに一回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

(3)　$F$を$y$軸のまわりに一回転してできる立体の体積$W$を求めよ．

【４】　数列$\{a_n\}$は，

$a_1=1\text{，}{a}_2=2\text{，}x{a}_n=(x-1)a_{n-1}+a_{n-2}\text{（}n\geqq 3\text{）}$

を満たす．ただし，$x$は$0$でない実数とする．

(1)　$a_n$を$n$と$x$で表せ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$が存在するような$x$に対して$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$とするとき，関数$y=f(x)$のグラフをかけ．

【１】　角$\mathrm{XOY}$内の定点を$\mathrm{M}$とし，$\mathrm{M}$を通る直線が$\mathrm{OX}\text{，}\mathrm{OY}$と交わる点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{OM}=m\text{，}\angle \mathrm{POM}=\alpha \text{，}\angle \mathrm{QOM}=\beta$とし，$0<\alpha \leqq \beta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

　$\angle \mathrm{OMQ}=\theta$とし，

${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{MP}}}+{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{MQ}}}=f(\theta )$

とする．

(1)　$f(\theta )$を求めよ．

(2)　$f(\theta )$のとり得る値の範囲を求めよ．

【２】　放物線$y=x^2+1$を$C$とする．$C$上の$2$点$\mathrm{A}(a,a^2+1)\text{，}\mathrm{B}(b,b^2+1)\text{（}a>b\text{）}$における接線をそれぞれ$l_{\mathrm{A}}\text{，}{l}_{\mathrm{B}}$とし，$l_{\mathrm{A}}\text{，}{l}_{\mathrm{B}}$が点$\mathrm{P}$において直交しているとする．

(1)　$a$が$a>0$の範囲を動くときの点$\mathrm{P}$の軌跡$K$を求めよ．

(2)　$C$と$K$および$2$直線$x=a$と$x=b$で囲まれた図形の面積を$S(a)$とし，$l_{\mathrm{A}}$と$K$および直線$x=a$で囲まれた図形の面積を$T(a)$とするとき，$\underset{a\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{T(a)}{S(a)}}$を求めよ．

【３】　$1$個のさいころを$3$回投げたとき，少なくとも$1$回は$1$の目がでる確率を$p_1$とする．また，さいころを$2$個ずつ$37$回投げたときに少なくとも$1$回は$1$の目がそろって出る確率を$p_2$とする．

(1)　$p_1$を求めよ．

(2)　$3$以上の自然数$n$と，$0<x<1$を満たす実数$x$に対して，

$f_n(x)=1-{(1-x)}^n$

$g_n(x)={f_n}^{\prime }(0)x+{\displaystyle \frac{1}{2}}{f_n}^{″}(0)x^2$

とするとき，$f_n(x)>g_n(x)$を示せ．

(3)　$p_1$と$p_2$の大小を比較せよ．

【４】　底面の半径が$10$の円筒状の容器に水が入っている．水がこぼれ始めるぎりぎりまで容器を傾けたところ，容器は鉛直方向に対し$60\mathrm{°}$傾き，水面は底面の中心を通った．

(1)　容器の深さを求めよ．

(2)　傾けた状態での水面の面積を求めよ．

(3)　水の量を求めよ．

【１】　整数を成分とする行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$が，$A^6=E\text{，}{A}^3\ne E\text{，}{A}^2\ne E$を満たす．ただし，$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$とする．

(1)　$a+d=ad-bc=1$を示せ．

(2)　さらに，$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$の絶対値が$3$以下で，$a>d\text{，}b>c$を満たすような行列$A$をすべて求めよ．

【２】　線分$\mathrm{AB}$を直径とする半径$1$の半円周を$n$等分する点を$\mathrm{A}$の方から順に

${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_{n-1}$

とする．三角形$\mathrm{A}{\mathrm{P}}_k\mathrm{B}$の周の長さを$L(k,n)$で表す．

(1)　$L(k,n)$を求めよ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}L(k,n)$を求めよ．ただし，$L(n,n)=4$とする．

【３】　原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上の$3$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$に対して

$f(k)=2(\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}})+3(\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OR}})+k(\overrightarrow{\mathrm{OR}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}})$

とする．ここで$k$は正の実数とする．ただし，$\cdot$はベクトルの内積を表す．

(1)　${|{\displaystyle \frac{\sqrt{3k}}{3}}\overrightarrow{\mathrm{OP}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3k}}{k}}\overrightarrow{\mathrm{OQ}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3k}}{2}}\overrightarrow{\mathrm{OR}}|}^2=f(k)+{\displaystyle \frac{13k^2+36}{12k}}$を示せ．

(2)　$3$辺の長さがそれぞれ${\displaystyle \frac{\sqrt{3k}}{3}}\text{，}{\displaystyle \frac{\sqrt{3k}}{k}}\text{，}{\displaystyle \frac{\sqrt{3k}}{2}}$である三角形が存在するための$k$の範囲を定めよ．

(3)　$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$が，$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上を動くとき，$f(4)$の最小値を求めよ．