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1996 横浜市立大 A日程文理(理),医学部

易□ 並□ 難□

【1】  A 2 ×2 行列であって, A の成分は 0 1 のいずれかであるとする.このとき,次の問いに答えよ.

(1)  A2 =A となるような A をすべて求めよ.

(2) 袋の中に赤玉と白玉がたくさん入っている.いま,この袋の中をよくまぜてから玉を 1 つ取り出し,玉の色を調べて袋の中に戻す.これをくり返し行うときに,取り出した玉が赤玉のときは 1 白玉のときは 0 という決め方に従って,順に a11 a1 2 a 21 a22 を決め,行列 A =( a11 a1 2 a21 a22 ) を定める.

 そのとき, A2 =A となる確率と A の少なくとも 3 つの成分が 0 となる確率が一致した.袋の中の赤玉と白玉の個数の比を求めよ,

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易□ 並□ 難□

1996年横浜市立大A日程文理(理),医学部【2】の図

【2】 平面上に半直線 OA OB OC があり, OC は大きさ 2 θ 0< 2θ< π AOB 2 等分している. OC 上の OM =2 となる点を M とする.点 M を通る直線と OA OB との交点をそれぞれ, X Y とし,線分 OX の長さを x 線分 OY の長さを y とする.

(1)  1 x+ 1 y θ を用いて表せ.

(2)  x2 +y2 の最小値を求めよ.



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【3】 曲線

y= ex+ e-x 2

の区間 5 logk -logn x5 logk -log( n-1 ) に対応する曲線の長さを a k とする.ただし, n k は自然数であり, n2 とする.

(1)  ak n k を用いて表せ.

(2) 不等式

1 n4 k =1n 1 k5 < 1n3

が成り立つことを示せ.

(3)  limn 1 n4 k= 1n ak を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【4】 空間において, 2 ( 0,0, 0) ( 2,0, 1) を通る直線を l 2 ( 1,-2 ,0) ( 0,-4 ,-1 ) を通る直線を m とし,直線 l m z 軸のまわりに 1 回転して得られる曲面をそれぞれ α β とする.

(1) 直線 l と直線 m の方程式を求めよ.

(2)  z 軸上の点 P ( 0,0, t) を通り z 軸に垂直な平面と, l m との交点をそれぞれ Q R とする.線分 PQ および PR の長さを t を用いて表せ.

(3)  2 平面 z =0 z =5 と曲面 α で囲まれた部分を A 2 平面 z =0 z= 5 と曲面 β で囲まれた部分を B とするとき,共通部分 A B の体積を求めよ.

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