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1996-11311-0101
1996 横浜市立大 A日程文理(理),医学部
易□ 並□ 難□
【1】 A は 2 ×2 行列であって, A の成分は 0 か 1 のいずれかであるとする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) A2 =A となるような A をすべて求めよ.
(2) 袋の中に赤玉と白玉がたくさん入っている.いま,この袋の中をよくまぜてから玉を 1 つ取り出し,玉の色を調べて袋の中に戻す.これをくり返し行うときに,取り出した玉が赤玉のときは 1 , 白玉のときは 0 , という決め方に従って,順に a11 , a1 2 ,a 21 , a22 を決め,行列 A =( a11 a1 2 a21 a22 ) を定める.
そのとき, A2 =A となる確率と A の少なくとも 3 つの成分が 0 となる確率が一致した.袋の中の赤玉と白玉の個数の比を求めよ,
1996-11311-0102
【2】 平面上に半直線 OA , OB ,OC があり, OC は大きさ 2 ⁢θ ( 0< 2⁢θ< π ) の ∠ AOB を 2 等分している. OC 上の OM =2 となる点を M とする.点 M を通る直線と OA , OB との交点をそれぞれ, X ,Y とし,線分 OX の長さを x , 線分 OY の長さを y とする.
(1) 1 x+ 1 y を θ を用いて表せ.
(2) x2 +y2 の最小値を求めよ.
1996-11311-0103
【3】 曲線
y= ex+ e-x 2
の区間 5 ⁢log⁡k -log⁡n ≦x≦5 ⁢log⁡k -log⁡( n-1 ) に対応する曲線の長さを a k とする.ただし, n ,k は自然数であり, n≧2 とする.
(1) ak を n と k を用いて表せ.
(2) 不等式
1 n4 ⁢ ∑k =1n 1 k5 < 1n3
が成り立つことを示せ.
(3) limn →∞ 1 n4 ⁢ ∑k= 1n ak を求めよ.
1996-11311-0104
【4】 空間において, 2 点 ( 0,0, 0) ,( 2,0, 1) を通る直線を l , 2 点 ( 1,-2 ,0) ,( 0,-4 ,-1 ) を通る直線を m とし,直線 l , m を z 軸のまわりに 1 回転して得られる曲面をそれぞれ α , β とする.
(1) 直線 l と直線 m の方程式を求めよ.
(2) z 軸上の点 P ( 0,0, t) を通り z 軸に垂直な平面と, l ,m との交点をそれぞれ Q ,R とする.線分 PQ および PR の長さを t を用いて表せ.
(3) 2 平面 z =0 ,z =5 と曲面 α で囲まれた部分を A , 2 平面 z =0 ,z= 5 と曲面 β で囲まれた部分を B とするとき,共通部分 A ∩B の体積を求めよ.