1996　横浜市立大　B日程商学部MathJax

【１】　次の$\text{①}$から$\text{③}$の箇所に適する数式または数値を解答用紙の所定の欄に記入せよ．

　ある投資家が年度始めに手持ちの資金$1000$万円をある事業に全額投資すべきか，銀行に全額預金すべきかの選択に直面している．銀行預金の年利率は$4\mathrm{\%}$で一定である．資金を事業に全額投資すれば，$n$年間にわたって各年度末にそれぞれ$110$万円の収入を得る．ただし，事業収入はそのつど銀行預金に積み立てるものとする（利子は$1$年ごとの複利で計算される）．

(1)　資金を銀行に全額預金したとき，$n$年後の元利合計は$\boxed{\text{①}}$万円となる．

(2)　資金を事業に全額投資したとき，$n$年後に受けとることのできる金額の合計は，銀行預金の積み立て額も含めて$\boxed{\text{②}}$万円となる．

(3)　$n$年後に受け取ることのできる金額を比較したとき，資金を事業に全額投資することが銀行に全額預金することよりも有利であるような自然数$n$の範囲は$\boxed{\text{③}}$である．ただし，${\log }_{10}1.1=0.0414\text{，}{\log }_{10}7=0.8451\text{，}{\log }_{10}1.04=0.0170$として計算せよ．

【２】　次の$\text{①}$から$\text{⑦}$の箇所に適する数式または数値を解答用紙の所定の欄に記入せよ．

　行列$A=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{7}{10}}& {\displaystyle \frac{3}{10}}\\ {\displaystyle \frac{3}{10}}& {\displaystyle \frac{7}{10}}\end{array}\right)$が表す$1$次変換を$f$とする．原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$\sqrt{2}$の円を$C$とする．$C$に内接する正三角形${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3$を考える．${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3$の$f$による造をそれぞれ${{\mathrm{P}}_1}^{\prime }\text{，}{{\mathrm{P}}_2}^{\prime }\text{，}{{\mathrm{P}}_3}^{\prime }$とする．${\mathrm{P}}_1$の座標を$(a,b)$とするとき，${\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3$の座標は，それぞれ$\boxed{\text{①}}\text{，}\boxed{\text{②}}$となる．$f$によって動かされない$C$上の点のうちで第$1$象限にあるものを$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{Q}$の座標は$\boxed{\text{③}}$である．点${\mathrm{P}}_1$が$\mathrm{Q}$に等しいとき，${{\mathrm{P}}_2}^{\prime }\text{，}{{\mathrm{P}}_3}^{\prime }$の座標はそれぞれ$\boxed{\text{④}}\text{，}\boxed{\text{⑤}}$である．このとき，${{\mathrm{P}}_2}^{\prime }$から直線${{\mathrm{OP}}_1}^{\prime }$への距離は$\boxed{\text{⑥}}\text{，}$三角形${{\mathrm{P}}_1}^{\prime }{{\mathrm{P}}_2}^{\prime }{{\mathrm{P}}_3}^{\prime }$の面積は$\boxed{\text{⑦}}$である．

【３】　次の$\text{①}$から$\text{⑤}$の箇所に適する数式または数値を解答用紙の所定の欄に記入せよ．

　空間の$4$点$\mathrm{A}(7,1,2)\text{，}\mathrm{B}(-5,-3,4)\text{，}\mathrm{C}(2,6,-2)\text{，}\mathrm{D}(5,10,-1)$に対し，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通る直線を$l$とし，$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$を通る直線を$m$とする．直線$l\text{，}m$の方程式はそれぞれ$\boxed{\text{①}}\text{，}\boxed{\text{②}}$である．$m$を含み，$l$に平行な平面$\alpha$の方程式は$\boxed{\text{③}}$である．点$\mathrm{A}$から平面$\alpha$におろした垂線の足を${\mathrm{A}}^{\prime }$としたとき，${\mathrm{A}}^{\prime }$の座標は$\boxed{\text{④}}$である．線分${\mathrm{AA}}^{\prime }$の長さは$\boxed{\text{⑤}}$である．

【４】　ある自動車が秒速$v$メートルで走行するときの，$1$秒あたりのガソリン消費量を$f(v)$ミリリットルとすると，

$f(v)={\displaystyle \frac{1}{1500}}(v^3-30v^2+300v)$

という関係があるという．今ガソリンの残量が$100$ミリリットルであり，なるべく長い距離を走行したい．

(1)　秒速$v$メートルの低速で走行するとして，走行距離を最大にするような$v$を$v_0$とする．$v_0$とそのときの走行距離を求めよ．

(2)　(1)で求めた$v_0$に対して，スタートから$2v_0$秒後までは加速度${\displaystyle \frac{1}{2}}$で加速し，$2v_0$秒後に速度$v_0$に達してからは一定速度$v_0$で走行するものとする．このときガソリン$100$ミリリットルで走行できる距離を求めよ．ただし，スタートから$2v_0$秒後までの走行距離とガソリン消費量は，それぞれ${v_0}^2$メートル，$2{\displaystyle {\int }_0^{v_0}}f(v)dv$ミリリットルで与えられるものとする．