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1996-11491-0101
1996 名古屋市立大 前期
経済学部
易□ 並□ 難□
【1】 原点 O を中心とする半径 1 の球面を Q とする. Q 上の点 P ( l,m, n) を通り OP → に垂直な平面が x 軸, y 軸, z 軸と交わる点をそれぞれ A ( a,0, 0) ,B ( 0,b, 0) ,C ( 0,0, c) とおく.ただし, l>0 , m>0 , n>0 とする.
(1) ▵ABC は鋭角三角形となることを示せ.
(2) ▵ABC の面積 S を l , m ,n を用いて表せ.
(3) 点 P が l >0 ,m >0 ,n =1 2 の条件をみたしながら Q 上を動くとき, S の最小値を求めよ.
1996-11491-0102
【2】 曲線 y =x4 -4⁢x 2+2 ⁢x-1 を C とする.
(1) 曲線 C と異なる 2 点で接する直線 l の方程式を求めよ.
(2) 曲線 C と(1)で求めた直線 l とで囲まれた図形の面積を求めよ.
1996-11491-0103
【3】,【4】から1題選択
【3】 xyz 空間の 4 点 O ( 0,0, 0) ,A ( 0,6, 8) ,B ( 1,1, 0) ,C ( 4,1, 4) を頂点とする四面体 OABC と, OA→ と BC → に平行な平面 π がある.平面 π による四面体 OABC の切り口がひし形になるとき,
(1) 平面 π の方程式を求めよ.
(2) ひし形の面積を求めよ.
1996-11491-0104
【4】(1) ∫ π4 π2 sin ⁡3⁢x sin⁡x ⁢ dx の値を求めよ.
(2) ∫ π4 π2 sin ⁡4⁢x sin⁡x ⁢ dx の値を求めよ.
1996-11491-0105
【5】,【6】から1題選択
【5】 球面
S: x2+ y2+ z2= r2
と平面
α: x+y+z =3⁢ (r2 -3⁢r +1)
がある.
(1) 球面 S と平面 π が共有点を持つような r の範囲を求めよ,
(2) r が(1)の範囲にあるとき,平面 α の球面 S によって切り取られる部分の面積の最大値を求めよ.
1996-11491-0106
【6】 7 人の男子と 5 人の女子合わせて 12 人のグループがある.次の(A),(B)の順で 4 人の委員を選ぶ.
(A): 最初にくじにより 3 人の委員を決める.
(B): (A)の結果 3 人とも男子であった場合には,残りの 1 人の委員は女子の中からくじで決める. 3 人とも女子であった場合には,残りの 1 人の委員は男子の中からくじで決める.それ以外の場合には,残りの 1 人の委員をまだ委員になっていない 9 人の中からくじで決める.
このとき次の問いに答えよ(既約分数で答えること).
(1) 男女各 2 人ずつが委員となる確率を求めよ.
(2) 男子 1 人女子 3 人が委員となる確率を求めよ.
(3) 男子の委員の数の期待値を求めよ.