1996　大阪市立大学　後期MathJax

【１】　方程式$48x+539y=77$を満たす整数解$x\text{，}y$をすべて求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　自然数$a\text{，}b\text{，}c\text{（}a\leqq b\leqq c\text{）}$に対して，次の定積分を求めよ．

${\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}(\cos ax)(\cos bx)(\cos cx)dx$

(2)　$a_1=2\text{，}{a}_n=2^{n-1}\text{（}n\geqq 2\text{）}$に対して，次の級数の和を求めよ．

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\int }_{-\pi }^{\pi }}(\cos a_{1}x)(\cos a_{2}x)\cdots (\cos a_{n}x)dx$

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　$xy$平面上の変換で，点$(a,b)$を中心とする回転角$\theta$の回転移動によって点$(x,y)$が点$(x^{\prime },y^{\prime })$に移されるとき，

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=R(\theta )\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)+(E-R(\theta ))\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$

と表されることを示せ．ただし，$R(\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\text{，}E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$である．

(2)　原点$\mathrm{O}$を中心とする回転角$\alpha$の回転移動を$f$とし，点$(p,q)$を中心とする回転角${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$の回転移動を$g$とする．$E-R(\alpha +{\displaystyle \frac{\pi }{3}})$が逆行列を持つとき，合成変換$g\circ f$はある点を中心とする回転移動となることを示せ．

(3)　原点$\mathrm{O}\text{，}(1,0)\text{，}({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$の$3$点を頂点とする正三角形を$T$とおく．合成変換$g\circ f$で$T$が$T$自身に移されるとき，$a\text{，}p\text{，}q$の値を求めよ．ただし，$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

【４】　点$\mathrm{A}(a,b)$と，放物線$4(y+1)=x^2$上の点$\mathrm{P}(x,y)$がある．ただし，$a>0\text{，}b\geqq 0$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$0\leqq x\leqq 2$のとき，$3$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{A}$を頂点とする三角形$\mathrm{OPA}$の面積の最大値$S$を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(2)　$a\geqq 1\text{，}b=\sqrt{a\log a}$のとき，最大値$S$は$a$の関数である．これを$S(a)$で表す．定積分${\displaystyle {\int }_1^2}S(a)da$を求めよ．

【５】　$xyz$座標空間において，原点を中心とする半径$1$の球面$S$を考える．図のように，点$(1,0,0)$を$y$軸のまわりに$z$軸の正の方向へ角$\lambda (0<\lambda <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$回転した後，$z$軸のまわりに$y$軸の正の方向へ角$\theta (0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$回転した$S$上の点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$において球面$S$に接する平面を$\alpha$とする．

(1)　平面$\alpha$の法線ベクトルを$\lambda$と$\theta$を用いて表せ．

(2)　点,$\mathrm{P}$を通り$y$軸に垂直な平面を$\beta \text{，}$点$\mathrm{P}$を通り$z$軸をふくむ平面を${\beta }^{\prime }$とする．平面$\beta$と平面$\alpha$の交線を$l\text{，}$平面${\beta }^{\prime }$と平面$\alpha$の交線を$l^{\prime }$とする．$l$と$l^{\prime }$の方向ベクトルを$\lambda$と$\theta$を用いて表せ．

(3)　$l$と$l^{\prime }$のなす角を$\omega (0\leqq \omega \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とするとき，$\omega <\theta$を示せ．

【１】　実数$a$と自然数$k$に対し，

$f(k)={\displaystyle \sum _{i=1}^{2k-1}}{(-a)}^{i-1}$

とおく．$a>1$であるとき，すべての自然数$n$に対し，次の不等式が成り立つことを示せ．

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{f(k)}}<{\displaystyle \frac{a}{a-1}}$

【２】　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を整数として，行列$A={\displaystyle \frac{1}{7}}\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$で表される$1$次変換を$f$とする．$f$によって，$4$点$\mathrm{P}(5,1)\text{，}\mathrm{Q}(0,7)\text{，}\mathrm{R}(-5,-1)\text{，}\mathrm{S}(0,-7)$を頂点とする平行四辺形$\mathrm{PQRS}$は正方形に移り，その面積はもとの平行四辺形の面積の${\displaystyle \frac{1}{7}}$になるとする．$f$による$\mathrm{P}$の像が第$1$象限，$\mathrm{Q}$の像が第$2$象限にあるとき，$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$の値を求めよ．

【３】　放物線$y=x^2$を原点のまわりに角$\theta (0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$だけ回転してできる曲線を$C_1$とする．$C_1$と$x$軸，$y$軸との原点以外の交点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$を通り，直線$y=0$を軸とする放物線を$C_2$とする．

(1)　$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(2)　$C_1$と$C_2$で囲まれる部分の面積を求めよ．

【４】　図に示すように，座標平面上の領域$\{(x,y)|x\geqq 0\text{，}y\geqq 0\}$の中で，$\mathrm{AB}=1$であるような三角形$\mathrm{ABC}$を以下のようにえがく．

1.　$\mathrm{A}$を通って$x$軸に平行な線分を$\mathrm{AP}\text{，}y$軸に平行な線分を$\mathrm{AQ}$とすると，$\angle \mathrm{CAP}<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}\angle \mathrm{BAP}=\angle \mathrm{CAQ}<{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$である．

2.　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通る直線に$\mathrm{C}$より下ろした垂線を$\mathrm{CH}$とし，$\mathrm{CH}$の延長線と$x$軸との交点を$\mathrm{D}$とすると，$\mathrm{AH}\geqq 1$であり，$\mathrm{H}$は線分$\mathrm{CD}$を$1:2$に内分している．

(1)　$\mathrm{AC}=a\text{，}\angle \mathrm{BAP}=\theta$とおいて$\mathrm{A}$の$y$座標を$a$と$\theta$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$が上の条件を満たしながら動くとき，$a$の最小値を求めよ．

【５】　$l$がすべての実数を動くとき，

$F(t)={\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}{(x-t)}^2{\cos }^{2}xdx$

の最小値を求めよ．