1996　大阪府立大学　前期MathJax

【１】　だ円

$C\text{：}{\displaystyle \frac{x^2}{4}}+{\displaystyle \frac{{(y+1)}^2}{2}}=1$

を原点を中心に$1$回転するとき，$C$上の点が通過する領域を$D$とする．

(1)　直線$y=ax+b$が$D$と共有点をもつための$a\text{，}b$の条件を求めよ．

(2)　(1)の条件を満たす点$(a,b)$の存在する範囲を図示せよ，

【２】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 1& 2a\end{array}\right)\text{（}a>0\text{）}$で表される$1$次変換は，$y$軸に平行な線分を$y$軸に平行な線分に移し，その長さを変えない．

(1)　$a\text{，}b$を求めよ．

(2)　$n$を正の整数とするとき，行列$A^n$を求めよ．

(3)　行列$A^n$で表される$1$次変換によって，点$\mathrm{P}(1,1)$が移される点を${\mathrm{P}}_n$とする．$\mathrm{O}$を原点とするとき，線分${\mathrm{OP}}_n$の傾きが$50$以上になる$n$の最小値を求めよ．

【３】　曲線

$C\text{：}y=x+2\sin x\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$

について，次の問いに答えよ．

(1)　点$(0,2\pi )$を通り曲線$C$に接する直線がただ$1$本あることを示し，その直線の方程式を求めよ．

(2)　(1)で求めた直線と，曲線$C$および$y$軸で囲まれる部分を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

【４】　$t$の関数

$F(t)={\displaystyle {\int }_0^1}|x^3-tx|dx$

の最小値を求めよ．

【５】　直線

$l\text{：}y=2x-{\displaystyle \frac{9}{2}}$

上の点から，放物線$y=-x^2+x-5$へ$2$本の接線を引き，その接点をそれぞれ$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{P}$が直線$l$上を動くとき，線分$\mathrm{QR}$の長さを最小にする点$\mathrm{P}$の座標と，そのときの線分$\mathrm{QR}$の長さを求めよ．

【６】　どちらのプレーヤーの勝つ確率も${\displaystyle \frac{1}{2}}$である，$2$人で行うゲームがある．このゲームにより，次のようにして$\mathrm{A}$が${\mathrm{B}}_1\text{，}{\mathrm{B}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{B}}_n$と順次対戦していく．

●はじめに，各自$3$点の持ち点が与えられている．

●まず，$\mathrm{A}$と${\mathrm{B}}_1$がこのゲームを繰り返し行う．$1$回ごとのゲームで，負けた者の持ち点は$1$点減点され，勝った者の持ち点は変わらない．どちらかの持ち点が$0$になった時，この対戦は終り，持ち点$0$の者を敗者とする．

●$\mathrm{A}$が勝者となれば，$\mathrm{A}$はその時点での持ち点で，同様の方法で${\mathrm{B}}_2$と対戦する．

●このようにして，$\mathrm{A}$が勝者となる限り，順に${\mathrm{B}}_0\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{B}}_n$と対戦していき，$\mathrm{A}$が敗者となった時点ですべての対戦を打ち切る．

(1)　$\mathrm{A}$が${\mathrm{B}}_1$と${\mathrm{B}}_2$の$2$人を勝ち抜く確率を求めよ．

(2)　$\mathrm{A}$が${\mathrm{B}}_1\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{B}}_n$のすべてを勝ち抜く確率を求めよ．