1996 大阪府立大学 C工学部

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1996 大阪府立大学 C

工学部

易□ 並□ 難□

【1】 空間における 2 直線

l1 x-1 2= 4 -y2 =z- p l 2- x-3= y -3p 2= z +52

が交わるとき,次の問いに答えよ.

(1) 定数 p の値,および l 1 l 2 の交点の座標を求めよ.

(2)  l1 l 2 を含む平面 α の方程式 a x+b y+c z+d =0 を求めよ.

(3) 平面 α 上で l 1 l 2 がなす角の 2 等分線の方程式を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【2】  4 人の人がいて,その前に 3 つの箱 A B C が置かれている.各人は数字 1 の書かれたカード,数字 2 の書かれたカード,数字 3 の書かれたカードを 1 枚ずつ合計 3 枚持っている. 4 人のそれぞれがカードを無作為に選んで,箱 A B C 1 枚ずつ入れるものとする.箱 A B C に入っているカードの数字の合計を a b c とすいるとき,次の問いに答えよ.

(1)  a<b <c となる a の値をすべて求めよ.

(2)  a=7 かつ a <b< c となる確率を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【3】  f( x)= xe -x とする.このとき,次の問いに答えよ.ただし limx x e- x=0 を用いてよい.

(1)  f( x) のとりうる値の範囲を求めよ.

(2)  p を正の定数とするとき, F( x)= {f (x )} 2-p f (x ) の極値を求めよ.ただし,極値をとる x の値は求めなくてよい.

(3)  y=F ( x) のグラフが x 軸に接するとき, p の値と接点の x 座標 a を求めよ.

(4) (3)で求めた p a に対して, 0a F( x) dx の値を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【4】 数列 { xn } は次の関係式を満たしている.

x0= 0 x n-1 xn (1+ |cos t| ) dt=n (n +1) n=1 2

このとき,次の問いに答えよ.

(1)  0xn ( 1+| cost | )d t n を用いて表せ.

(2)  0x ( |cos t|- c) dt が周期 π の周期関数となるように定数 c を定めよ.

(3)  c を(2)で定めた定数とする.すべての x に対して,

| 0x | cost |- c) dt| (1 +| c| )π

が成立することを示せ.

(4) (2)で定めた c に対して, an = 0x n ( |cos t| -c) dt とおくとき,一般項 x n a n n を用いて表せ.

(5)  limn xnn 2 を求めよ.