1996　慶応義塾大学　理工学部MathJax

【１】　平面上に$4$点$\mathrm{K}(s,t)\text{，}\mathrm{E}(-2,0)\text{，}\mathrm{I}(4,0)\text{，}\mathrm{O}(0,0)$と二つのだ円$C_1\text{，}{C}_2$があって，次の条件(ⅰ)，(ⅱ)をみたしている．

(ⅰ)　$\mathrm{I}$と$\mathrm{O}$は$C_1$の焦点であり，$2$点$\mathrm{K}\text{，}\mathrm{E}$はともに$C_1$上にある．

(ⅱ)　$\mathrm{E}$と$\mathrm{O}$は$C_2$の焦点であり，$2$点$\mathrm{K}\text{，}\mathrm{I}$はともに$C_2$上にある．

このとき$a=\left|\overrightarrow{\mathrm{OK}}\right|\text{，}$$b=\left|\overrightarrow{\mathrm{IK}}\right|\text{，}$$c=\left|\overrightarrow{\mathrm{EK}}\right|$とおけば，$a+b\text{，}a+c$の値はそれぞれ$a+b=\boxed{\text{(ア)}}\text{，}a+c=\boxed{\text{(イ)}}$である．したがって$a\text{，}s$の値は$a=\boxed{\text{(ウ)}}\text{，}s=\boxed{\text{(エ)}}$であり，さらに$t>0$のとき，$t=\boxed{\text{(オ)}}$である．

【２】　$m\text{，}n$を負でない整数，$p$を$1$以上の整数とするとき，定積分

${\displaystyle {\int }_0^p}{(1-{\displaystyle \frac{t}{p}})}^m{t}^{n}dx$

の値を$I_{m,n}(p)$と書く．部分積分法を用いると，$I_{m,n}(p)$と$I_{m+1,n-1}(p)\text{（}n\geqq 1\text{）}$の間には

$I_{m,n}(p)=\boxed{\text{(カ)}}{I}_{m+1,n-1}(p)$(1)

という関係があることがわかる．一方$I_{m+n,0}(p)=\boxed{\text{(キ)}}$であるから，関係式(1)より$I_{m,n}(p)=\boxed{\text{ク}}$となる．ここで$p=m$とおき，$n$を固定して$m$を限りなく大きくしたときの極限値は$\underset{m\to \infty }{\lim }{I}_{m,n}(m)=\boxed{\text{(ケ)}}$である．また(1)を用いれば，$p$を固定したとき，$I_{m,2p-m}(p)\text{（}0\leqq m\leqq 2p\text{）}$が最小となるのは$m=\boxed{\text{(コ)}}$のときであることがわかる．

【３】　袋の中に，両面とも赤のカードが$2$枚，両面とも青，両面とも黄，片面が赤で片面が青，片面が青で片面が黄のカードがそれぞれ$1$枚ずつの計$6$枚のカードが入っている．その中の$1$枚を無作為に選んで取り出し机の上に置くとき，表が赤の確率は$\boxed{\text{(サ)}}\text{，}$両面とも赤の確率は$\boxed{\text{(シ)}}$である．表が赤であることがわかったとき，裏も赤である確率は$\boxed{\text{(ス)}}$である．

　最初のカードは袋に戻さずに，もう$1$枚カードを取り出して机の上に置くことにする．最初のカードの表が赤とわかっているとき，$2$枚目のカードの表が青である確率は$\boxed{\text{(セ)}}$である．最初のカードの表が赤で，$2$枚目のカードの表が青であることがわかったとき，最初のカードの裏が赤である確率は$\boxed{\text{(ソ)}}$である．

【４】　座標平面上を運動する点$\mathrm{P}$があって，時刻$t$における座標が$t$の微分可能な関数$f(t)\text{，}g(t)$によって$\mathrm{P}(f(t),g(t))$で与えられている．時刻$t$における$\mathrm{P}$の速度を$\overrightarrow{v}$で表す．同じ座標平面上を運動するもうひとつの点$\mathrm{Q}$があって，時刻$t$における座標が$\mathrm{Q}(a{f}^{\prime }(t)+bg(t),-bf(t)+a{g}^{\prime }(t))$で与えられている．ここで$a\text{，}b$は定数で$a\ne 0$である．さらに，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$はつねに直交しているものとする．ただし，$\mathrm{O}$は原点$(0,0)$を表す．このとき次の問に答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$の大きさ$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|$は一定であることを示せ．

(2)　${\left|\overrightarrow{v}\right|}^2{\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|}^2={(f^{\prime }(t)g(t)-f(t)g^{\prime }(t))}^2$が成り立つことを示せ．

(3)　$f^{\prime }(t)g(t)-f(t)g^{\prime }(t)\geqq 0$のとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\right|$を$\left|\overrightarrow{v}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|\text{，}$$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

【５】　空間において，$x+y+z=4$で表される平面を$\pi$とする．$\pi$上の点$(x,y,z)$で$x\geqq 1\text{，}y\geqq 1\text{，}z\geqq 1$をみたすものの全体を$A$とする．$\pi$上の$2$点$P\text{，}\mathrm{Q}$間の距離を$\mathrm{PQ}$で表す．$\pi$上の点$\mathrm{P}$を固定し，$\mathrm{Q}$が$A$の点全体を動くときの$\mathrm{PQ}$の最小値を$l(\mathrm{P})$で表す．また，$l(P)=\mathrm{PQ}$となる$A$の点$\mathrm{Q}$を$\mathrm{Q}(\mathrm{P})$で表す．

(1)　$(x,y,z)$が$A$の点全体を動くとき，$xy$平面上で点$(x,y)$の動く範囲を図示せよ．

(2)　$\pi$上の点$\mathrm{P}({\displaystyle \frac{3}{2}},{\displaystyle \frac{11}{6}},{\displaystyle \frac{2}{3}})$に対して，$\mathrm{Q}(\mathrm{P})$と$l(\mathrm{P})$を求めよ．

(3)　$\mathrm{Q}(\mathrm{P})$が$(2,1,1)$となるような$\pi$上の点$\mathrm{P}(x,y,z)$で$x\geqq 0\text{，}y\geqq 0\text{，}z\geqq 0$をみたすものの全体を$B$とする．$(x,y,z)$が$B$の点全体を動くとき，$xy$平面上で点$(x,y)$の動く範囲を図示せよ．