1996　慶応義塾大学　経済学部MathJax

【１】　$xy$平面上で$\mathrm{O}$を原点とし

$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1}=\left(\begin{array}{c}\cos \theta \\ \sin \theta \end{array}\right)\text{，}\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_2}=\left(\begin{array}{c}\cos (\theta -\alpha )\\ \sin (\theta -\alpha )\end{array}\right)\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1}+\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_2}$

で点$\mathrm{P}(x,y)$を定義する．

(ⅰ)　$\theta$を一定値に固定し，変数$\alpha$を$0\leqq \alpha \leqq 2\pi$の範囲で動かすとき，点$\mathrm{P}(x,y)$の軌跡の方程式は$\boxed{\text{ア}}$である．

(ⅱ)　$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$とし$\alpha$を$0\leqq \alpha \leqq \pi$の範囲で動かすとき，$x\text{，}y$の値のとる範囲はそれぞれ$\boxed{\text{イ}}\leqq x\leqq \boxed{\text{ウ}}\text{，}\boxed{\text{エ}}\leqq y\leqq \boxed{\text{オ}}$である．

【２】　関数$f(x)\text{，}g(x)$を

$f(x)=|x|+k^2-2k\text{，}g(x)=|f(x)|$

で定義する．

(ⅰ)　$k=1$として$y=g(x)$のグラフを，解答用紙の$\boxed{\text{カ}}$の部分にかけ．

(ⅱ)　$y=f(x)$と$y=g(x)$とで囲まれる図形の面積を$M(k)$と表すと$M(k)=\boxed{\text{キ}}$である．$M(k)$の最大値は$\boxed{\text{ク}}$で，そのときの$k$の値は$\boxed{\text{ケ}}$である．また$y=M(k)$のグラフを，解答用紙の$\boxed{\text{コ}}$の部分にかけ．

【３】　$xyz$空間に，平面$S:2x-z=0$と，中心が$(2,0,1)$で半径が$2$の球$C$がある．$S$と$C$との交わりの円の中心の座標は$\boxed{\text{サ}}$で，その半径は$\boxed{\text{シ}}$である．この円を$xy$平面上に正射影してできる図形の方程式は$\boxed{\text{ス}}$で，中心の座標が$\boxed{\text{セ}}\text{，}$長軸の長さが$\boxed{\text{ソ}}\text{，}$短軸の長さが$\boxed{\text{タ}}$の楕円を表す．

【４】　$xy$平面上のベクトルの列$\overrightarrow{a_1}\text{，}\overrightarrow{a_2}\text{，}\overrightarrow{a_3}\text{，}\cdots$を

$\overrightarrow{a_1}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)\text{，}\overrightarrow{a_2}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\text{，}\overrightarrow{a_n}=\overrightarrow{a_{n-1}}+r\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)(\overrightarrow{a_{n-1}}-\overrightarrow{a_{n-2}})\text{，}n\geqq 3$

で定義する（$r$は定数）

(ⅰ)　$\overrightarrow{a_5}=\boxed{\text{チ}}\text{，}\overrightarrow{a_6}=\boxed{\text{ツ}}$である．

(ⅱ)　$\overrightarrow{a_{2m+1}}=\boxed{\text{テ}}\text{，}m=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$である．

　$\mathrm{O}$を原点とし，点の列${\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2\text{，}{\mathrm{A}}_3\text{，}\cdots$を$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_i}=\overrightarrow{a_i}\text{（}i=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定義する．以下$r={\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．

(ⅲ)　点${\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2\text{，}{\mathrm{A}}_3\text{，}{\mathrm{A}}_4\text{，}{\mathrm{A}}_5\text{，}{\mathrm{A}}_6$を順に結んでできる図形を，解答用紙の$\boxed{\text{ト}}$の部分にかけ．

(ⅳ)　点${\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2\text{，}{\mathrm{A}}_3\text{，}\cdots$がどのような規則性をもってかかれるかをみると$\angle {\mathrm{A}}_{n-2}{\mathrm{A}}_{n-1}{\mathrm{A}}_n=\boxed{\text{ナ}}\text{，}\overline{{\mathrm{A}}_{n-1}{\mathrm{A}}_n}=\boxed{\text{ニ}}$である．

【５】(ⅰ)

$P(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$（$a\text{，}b\text{，}c$は定数）

とし$P(x)$の導関数を$P^{\prime }(x)$とする．命題$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を

命題$\mathrm{A}:P(x)=0$が重解をもつ

命題$\mathrm{B}:P(x)=0$と$P^{\prime }(x)=0$とが共通解をもつ

で定義すると$\mathrm{A}$の必要十分条件は$\mathrm{B}$である．このうち$\mathrm{B}$が$\mathrm{A}$の必要条件であることを，解答用紙の$\boxed{\text{ヌ}}$の部分に証明せよ．

(ⅱ)

$P(x)=x^3+m{x}^2+n-1$（$m\text{，}n$は定数）

とする．$P(x)=0$が重解をもつための必要十分条件は$n=\boxed{\text{ネ}}$または$n=\boxed{\text{ノ}}$である．

(ⅲ)　直線$y=1$に接する曲線$y=x^3+m{x}^2+n$が，点$(-1,-1)$を通るのは$m\text{，}n$が次の$3$組の場合である．

$\{\begin{array}{l}m=\boxed{\text{ハ}}\\ n=\boxed{\text{ヒ}}\end{array}\text{，}\{\begin{array}{l}m=\boxed{\text{フ}}\\ n=\boxed{\text{ヘ}}\end{array}\text{，}\{\begin{array}{l}m=\boxed{\text{ホ}}\\ n=\boxed{\text{マ}}\end{array}$．