1996　慶応義塾大学　商学部MathJax

【１】(1)　連立方程式

$\{\begin{array}{l}{\log }_2(x+y)+{\log }_2(1-x)=0\\ y=-x^2+4x+1\end{array}$

の解は$\boxed{\text{ア}}$である．

【１】(2)　関数$y={\displaystyle \frac{10x-x^2}{{(10+10x-x^2)}^2}}$は$x=\boxed{\text{イ}}\pm \sqrt{\boxed{\text{ウ}}}$のとき，最大値${\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{エ}}}}$をとる．

【２】　空間内の平面$\pi :6x+8y+3z=72$と，$x$軸，$y$軸，$z$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$とする．三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，点$\mathrm{G}$を基準とする点$\mathrm{A}\text{，}$点$\mathrm{B}\text{，}$点$\mathrm{C}$の位置ベクトルをそれぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$とする．

(1)　$\overrightarrow{a}=(\boxed{\text{ア}},-\boxed{\text{イ}},-\boxed{\text{ウ}})$である．

(2)　平面$\pi$上の点のうち点$(13,22,12)$に最も近い点の点$\mathrm{G}$を基準とした位置ベクトルを$\overrightarrow{d}$とすると，$\overrightarrow{d}=(-\boxed{\text{エ}},\boxed{\text{オ}},-\boxed{\text{カ}})$であり，

$\overrightarrow{d}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}\overrightarrow{b}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}\overrightarrow{c}$

と表すことができる．

【３】　だ円$C:{\displaystyle \frac{x^2}{16}}+{\displaystyle \frac{y^2}{4}}=1$について考える．

(1)　直線$l:\sqrt{3}x+\boxed{\text{ア}}y-\boxed{\text{イ}}=0$は点$(-2\sqrt{3},7)$を通るだ円$C$の接線である．

(2)　直線$\boxed{\text{ウ}}x-\sqrt{3}y+\boxed{\text{エ}}\sqrt{\boxed{\text{オ}}}=0$はだ円$C$の接線であり，直線$l$と直交する．

(3)　直線$l$は，行列$\left(\begin{array}{cc}a& 2b\\ b& a-1\end{array}\right)$で表される$1$次変換によって，$l$に平行で$l$とは異なるだ円$C$の接線に移される．このとき，$a=-\boxed{\text{カ}}\text{，}b=\sqrt{\boxed{\text{キ}}}$である．

【４】　長方形${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1{\mathrm{D}}_1$の隣り合う$2$辺${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_1{\mathrm{D}}_1$の長さはそれぞれ$5\text{，}7$である．$k=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{，}n$に対して，長方形${\mathrm{A}}_k{\mathrm{B}}_k{\mathrm{C}}_k{\mathrm{D}}_k$の隣り合う$2$辺${\mathrm{A}}_k{\mathrm{B}}_k\text{，}{\mathrm{A}}_k{\mathrm{D}}_k$の長さはそれぞれ辺${\mathrm{A}}_{k-1}{\mathrm{B}}_{k-1}$の長さの${\displaystyle \frac{1}{2(k-1)}}$倍，辺${\mathrm{A}}_{k-1}{\mathrm{D}}_{k-1}$の長さの${\displaystyle \frac{k}{3}}$倍である．長方形${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1{\mathrm{D}}_1$の面積を$S_1\text{，}$長方形${\mathrm{A}}_k{\mathrm{B}}_k{\mathrm{C}}_k{\mathrm{D}}_k$の面積を$S_k$で表すとき，

$S_k={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}k}{{\boxed{\text{イ}}}^{k-\boxed{\text{ウ}}}}}\text{，}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{S}_k={\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}(\boxed{\text{カ}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}n+\boxed{\text{ク}}}{{\boxed{\text{ケ}}}^n}})$

である．

【５】　関数$f(x)={\displaystyle {\int }_{-2}^x}(3-|t-1|)dt$を$x$の多項式で表すと，

$x<\boxed{\text{ア}}$のとき$f(x)=\boxed{\text{イ}}$，

$\boxed{\text{ア}}\leqq x$のとき$f(x)=\boxed{\text{ウ}}$

である．曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた領域（境界を含む）を$D$とするとき，$D$の面積は$\boxed{\text{エ}}+\boxed{\text{オ}}\sqrt{2}$である．

　また，点$(x,y)$が$D$内を動くとき，$2x+y$は点$(\boxed{\text{カ}},\boxed{\text{キ}})$で最大値$\boxed{\text{ク}}\text{，}$点$(-\boxed{\text{ケ}},\boxed{\text{コ}})$で最小値$-\boxed{\text{サ}}$をとる．