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1996-13338-0401
1996 慶応義塾大学 総合政策学部
易□ 並□ 難□
【1】 整式 f⁡ (x) は関係式
∫ xx+1 ⁡f ⁡(t )⁢d t=f⁡ (x) +2⁢x 3-4⁢ x2+ 15
を満たす.このとき f⁡ (x ) は, ア 次式である.もし, f⁡( 1)= 0 を仮定すれば,
f⁡( 0)= イ , f⁡( 2)= ウ , f⁡( 3)= エ
となる.
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【2】 曲線 y= x3- 6⁢x2 +4⁢x +3 の傾き α の接線全体の集合を S α とする.
(ⅰ) Sα が一つの要素からなるとき, α= ア である.
(ⅱ) Sα が二つの要素からなるとき,それぞれの接点を, P( x1, y1) ,Q (x 2,y 2) ( x1< x2 ) とする.このとき,
x1+ x2= イ , y1- y2= ( ウ - x1⁢ x2) ⁢(x 1-x 2)
(ⅲ) P と Q を結ぶ直線が原点を通るとき,
α= エ オ ,x1 = カ - キ ク
である.
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【3】 行列 ( a2 1b ) で表される一次変換によって,直線 y= 2⁢x+ 3 が図形 T a,b に移されるとする.
(ⅰ) Ta, b が直線 y= 2⁢x+ 3 と一致するとき,
a= ア イ ,b= ウ
(ⅱ) Ta, b が一点からなるとき,
a= エ , b= オ カ
であり,その点は,
( キ , ク ケ )
(ⅲ) 原点を通る直線で,図形 T a,b によって表すことができないものは,全部で コ 本ある.ただし, a ,b は任意の実数を動かすものとする.この中で,負の傾きをもつものは,直線
y= サ シ ⁢ x
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【4】 数列 { an} を, a1= 1 ,a2 =2 ,
an+ 2= an+1 +a n ( n≧1 )
で定義する.以下,
α= 1+5 2 , β= 1-5 2
とし,次の質問に答えなさい.
(ⅰ) 一般項 a n は,
an= 1 ア ⁢ { { イ - β)⁢ αn- 1+( α- ウ )⁢ βn- 1}
で表される.
(ⅱ) n≧2 のとき,座標平面上の 3 点 ( an, an) ,( an, an+1 ) ,( 12 ⁢ an+ 2, 12 ⁢ an+ 2) を頂点とする三角形の面積を S n とすれば,
Sn= 1 エ ⁢ an-1 オ
である.このとき,
∑ k=2 n⁡ Sk= 1 カ ⁢ (a n⁢a n-1 - キ )
であり, α ,β を用いて
1 ク { ( ケ - コ ⁢ β)⁢ α2⁢ n-3 +( サ - シ ⁢ α )⁢ β2⁢ n-3 +( -1) n-1 - ス }
とかける.
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【5】 タロいもの収穫量を f , キャベツの収穫量を g とし,その積 f⁢ g が最大となる耕作を考える.ただし, f と g は,耕作面積 x と肥料の量 y のみに依存して次の式で与えられる.
f=x 25⁢ y35 ,g= 313 ⁢x 23⁢ y13 .
今,タロいもとキャベツの耕作面積の和が 120 , 肥料の総量が 70 であるとき, f⁢g を最大にする耕作をするには,
タロいもの耕作面積を ア , 肥料の量を イ ,
キャベツの耕作面積を ウ , 肥料の量を エ ,
とすれば良い.このとき, f⁡g の最大値は オ である.