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1996 慶応義塾大学 総合政策学部

易□ 並□ 難□

【1】 整式 f (x) は関係式

xx+1 f (t )d t=f (x) +2x 3-4 x2+ 15

を満たす.このとき f (x ) は, 次式である.もし, f( 1)= 0 を仮定すれば,

f( 0)= f( 2)= f( 3)=

となる.

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【2】 曲線 y= x3- 6x2 +4x +3 の傾き α の接線全体の集合を S α とする.

(ⅰ)  Sα が一つの要素からなるとき, α= である.

(ⅱ)  Sα が二つの要素からなるとき,それぞれの接点を, P( x1, y1) Q (x 2,y 2) x1< x2 とする.このとき,

x1+ x2= y1- y2= ( - x1 x2) (x 1-x 2)

となる.

(ⅲ)  P Q を結ぶ直線が原点を通るとき,

α= x1 = -

である.

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【3】 行列 ( a2 1b ) で表される一次変換によって,直線 y= 2x+ 3 が図形 T a,b に移されるとする.

(ⅰ)  Ta, b が直線 y= 2x+ 3 と一致するとき,

a= b=

である.

(ⅱ)  Ta, b が一点からなるとき,

a= b=

であり,その点は,

( , )

である.

(ⅲ) 原点を通る直線で,図形 T a,b によって表すことができないものは,全部で 本ある.ただし, a b は任意の実数を動かすものとする.この中で,負の傾きをもつものは,直線

y= x

である.

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【4】 数列 { an} を, a1= 1 a2 =2

an+ 2= an+1 +a n n1

で定義する.以下,

α= 1+5 2 β= 1-5 2

とし,次の質問に答えなさい.

(ⅰ) 一般項 a n は,

an= 1 { { - β) αn- 1+( α- ) βn- 1}

で表される.

(ⅱ)  n2 のとき,座標平面上の 3 ( an, an) ( an, an+1 ) ( 12 an+ 2, 12 an+ 2) を頂点とする三角形の面積を S n とすれば,

Sn= 1 an-1

である.このとき,

k=2 n Sk= 1 (a na n-1 - )

であり, α β を用いて

1 { ( - β) α2 n-3 +( - α ) β2 n-3 +( -1) n-1 - }

とかける.

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【5】 タロいもの収穫量を f キャベツの収穫量を g とし,その積 f g が最大となる耕作を考える.ただし, f g は,耕作面積 x と肥料の量 y のみに依存して次の式で与えられる.

f=x 25 y35 g= 313 x 23 y13

今,タロいもとキャベツの耕作面積の和が 120 肥料の総量が 70 であるとき, fg を最大にする耕作をするには,

タロいもの耕作面積を 肥料の量を

キャベツの耕作面積を 肥料の量を

とすれば良い.このとき, fg の最大値は である.

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