1996　慶応義塾大学　環境情報学部MathJax

【１】　$x^2-x+1=0$の解を$\alpha \text{，}{x}^2+x-1=0$の解を$\beta$とする．

(ⅰ)　${\alpha }^n=1$となる最小の自然数は，$n=\boxed{\text{ア}}$である．

(ⅱ)　$\alpha \beta$は，$4$次方程式

$x^4+\boxed{\text{イ}}{x}^3+\boxed{\text{ウ}}{x}^2+\boxed{\text{エ}}x+\boxed{\text{オ}}=0$

の解である．

(ⅲ)　この$4$次方程式の$4$つの解を，$x_1\text{，}{x}_2\text{，}{x}_3\text{，}{x}_4$とすれば，

${x_1}^2+{x_2}^2+{x_3}^2+{x_4}^2=\boxed{\text{カ}}$

である．

【２】　第$1$列に$1$軒の家，第$2$列に$2$軒の家，$\cdots \text{，}$第$n$列に$2^{n-1}$軒の家がある．次の図１のように，各家からは次の列の$2$軒の家へ，それぞれ$1$本の道があり，また各家は前の列の家から$1$本の道で結ばれている．

(ⅰ)　郵便屋さんが，第$1$列の$1$軒から出発して，第$n$列までの全ての家をまわり，再び出発点に戻る最短の道程を$S_n$とする．ただし，$1$本の道の長さは$1$とする．このとき，$S_2=4\text{，}{S}_3=12\text{，}\cdots$

$S_n={\boxed{\text{ア}}}^{n+\boxed{\text{イ}}}-\boxed{\text{ウ}}$

となる．また，この様な最短経路は，全部で$2^N$通りある．ただし

$N={\boxed{\text{エ}}}^{n-\boxed{\text{オ}}}-\boxed{\text{カ}}$

である．

(ⅱ)　第$n$列に，次の図２の様にあらたに道をつくったとき，$S_n$の値を，${\boxed{\text{キ}}}^{n-\boxed{\text{ク}}}$だけ減らすことができる．さらに，出発点に戻らなくてよいならば，道程は$\boxed{\text{ケ}}n+\boxed{\text{コ}}$だけ減る．

【３】　$0\leqq \theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とし，行列$A_{n,m}$を

$A_{n,m}={\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)}^n{\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)}^m\text{（}n\text{，}m=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

と定める．このとき，$A_{n,m}$で表される一次変換による点$(1,1)$の像を，${\mathrm{P}}_{n,m}$とする．ただし，零行列でない行列$M$に対して，$M^k$は$k=0$のとき，単位行列を表す．

(ⅰ)　$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_{n,m}\leqq 20$となる必要十分条件は，$m\leqq \boxed{\text{ア}}$である．とくに，$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{7}}$のとき，この条件を満たす${\mathrm{P}}_{n,m}$の総数は$\boxed{\text{イ}}$個である．

(ⅱ)　${\mathrm{P}}_{n,m}$が$y$軸上にあるとき，

${\log }_2(\tan n\theta )=\boxed{\text{ウ}}m$

である．

(ⅲ)　${\mathrm{P}}_{n,m}$と${\mathrm{P}}_{n+1,m+1}$を結ぶ直線が原点を通るとき，

$\tan \theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}\cdot {\boxed{\text{オ}}}^{2m}}{1+2^{\boxed{\text{カ}}m+\boxed{\text{キ}}}}}$

となる．

【４】　原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の球面を$S_1\text{，}$点$\mathrm{P}$を中心とする半径$3$の球面を$S_2$とし，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|=5$とする．平面$\alpha$は，$S_1\text{，}{S}_2$に接し，線分$\mathrm{OP}$と交わらないとする．$\alpha$の$S_1$における接点の位置ベクトルを，$\overrightarrow{t}$とすれば，

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{t}=\boxed{\text{ア}}$

である．また，$\overrightarrow{t}$は，

点${\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}\overrightarrow{\mathrm{OP}}$

を中心とする

半径${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{エ}}}}{\boxed{\text{オ}}}}$

の円上にある．

【５】　六角形$\mathrm{ABCDEF}$は，次の図のように直線$\mathrm{AD}$に関して線対称であり，$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AF}}$とする．点$\mathrm{P}$が，直線$\mathrm{BF}$上を運動するとき，直線$\mathrm{AP}$上に，点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$のいずれかが載る回数を$n$とする．例えば，$\mathrm{P}$が，$\mathrm{B}$から出発して，等速で$\mathrm{F}$まで運動すれば，$n=5$である．また，$\mathrm{P}$は六角形の外に出ることもあり得る．今，$\mathrm{P}$が次の条件(1)，(2)を満たして運動するとき，以下の質問に答えなさい．ただし，$a\text{，}b$は実数とし，$t$は時刻を表し，負の値も許すものとする．

(1)　$\mathrm{P}$は，時刻$t=-1$から，$t=1$まで運動し，時刻$t=-1$のとき，$\mathrm{B}$と一致し，$t=1$のとき，$\mathrm{F}$と一致する．

(2)　$\mathrm{P}$の速度は，$(a{t}^2+b)\left|\overrightarrow{\mathrm{BF}}\right|$で与えられる．ここで，正の値は，$\mathrm{B}$から$\mathrm{F}$へ向かう運動を，負の値は逆方向の運動を表す．

(ⅰ)　$a$と$b$の間には

$a+\boxed{\text{ア}}b+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}=0$

なる関係式が成立する．

(ⅱ)　$b={\displaystyle \frac{1}{3}}$のとき，$n=\boxed{\text{エ}}$である．

(ⅲ)　$b$の値を変化させたとき，$n$の値の最大値は，$n=\boxed{\text{オ}}$である．

(ⅳ)　$n=7$となるのは，

$b>{\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}$または，$\alpha <b<\boxed{\text{ク}}$

のときである．ただし，$\alpha$は，$3$次方程式

$x^3+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}x+{\displaystyle \frac{3}{32}}=0$

の実数解である．