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【1】 以下の文章の空欄に適当な数,式または記号(など)を入れて文章を完成しなさい.解答は解答用紙の所定の解答欄に記入しなさい.
を自然数で,とする.からまでの番号が重複なくつずつ記された個の箱と,からまでの番号が重複なくつずつ記された枚のカードがある.この個の箱に,この枚のカードを入れる.以下の問いに答えなさい.
(1) どの箱にも零枚を含めて何枚入れても良いとする.このような入れ方の総数はと
(2) どの箱にも,入れるとしても枚しか入れないとする.このような入れ方の総数はとを用いて表すと,である.
(3) を整数で,とする.個の箱のうち個にはカードをそれぞれ枚ずつ入れ,残ったカードは残った箱に,どの箱に入れるとしても枚しか入れないとする.このような入れ方の総数はととを用いて表すとである.
(4) の場合を考える.個の箱に枚のカードを入れる.ただし,どの箱にも,入れるとしても枚までのカードを入れるとする.このような入れ方の総数はである.
【4】 設問(1),(5)では,文章の空欄に適当な数,式,または記号を入れて文章を完成しなさい.解答は解答用紙の所定の解答欄に記入しなさい.
(1) 変数と変数の間に次の関係式がなりたつとする.
は定数で,とする.の多項式をこの関係式を用いての次の多項式に変形するとき,となるがある.ただし,である.として,たとえばととると,となる.したがって,の項のないの形の多項式に変形できることがわかる.
(2) 平面における位置ベクトルとは,ともに零ベクトルでなく,互いに平行でないとする.位置ベクトルを
で定める.すべての実数にたいして
が成り立つことを証明しなさい.
(3) がの範囲を変化するとき,設問(2)におけるの終点の軌跡は円またはだ円であることを証明しなさい.
(4) 空間の点の座標を次のように定める.
がの範囲を変化するとき,点が描く曲線はある平面に含まれる円またはだ円であることを証明しなさい.
(5) 設問(4)におけるの中心の座標はであり,平面の方程式はである.また,の中心から上の点への距離の最大値はであり,最小値はである.したがって,はだ円である.