1996　慶応義塾大学　医学部MathJax

【１】　以下の文章の空欄に適当な数，式または記号（${}_{m}C_n\text{，}{}_{m}P_n\text{，}!$など）を入れて文章を完成しなさい．解答は解答用紙の所定の解答欄に記入しなさい．

　$M\text{，}N$を自然数で，$M\geqq N$とする．$1$から$M$までの番号が重複なく$1$つずつ記された$M$個の箱と，$1$から$N$までの番号が重複なく$1$つずつ記された$N$枚のカードがある．この$M$個の箱に，この$N$枚のカードを入れる．以下の問いに答えなさい．

(1)　どの箱にも零枚を含めて何枚入れても良いとする．このような入れ方の総数は$M$と$N$を用いて表すと，$\boxed{\text{(ア)}}$である．

(2)　どの箱にも，入れるとしても$1$枚しか入れないとする．このような入れ方の総数は$M$と$N$を用いて表すと，$\boxed{\text{(イ)}}$である．

(3)　$k$を整数で，$0\leqq k\leqq {\displaystyle \frac{N}{2}}$とする．$M$個の箱のうち$k$個にはカードをそれぞれ$2$枚ずつ入れ，残ったカードは残った箱に，どの箱に入れるとしても$1$枚しか入れないとする．このような入れ方の総数は$M$と$N$と$k$を用いて表すと$\boxed{\text{(ウ)}}$である．

(4)　$M=5\text{，}N=5$の場合を考える．$5$個の箱に$5$枚のカードを入れる．ただし，どの箱にも，入れるとしても$2$枚までのカードを入れるとする．このような入れ方の総数は$\boxed{\text{(エ)}}$である．

【２】　設問(1)，(2)，(3)では，文章の空欄に適当な数，式，または記号を入れて，文章を完成しなさい．解答は解答用紙の所定の解答欄に記入しなさい．

(1)　$n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$にたいして，

$J_n={\displaystyle {\int }_0^{\pi }}t{\sin }^{n}tdt$

とおく．$J_0$と$J_1$の値はそれぞれ$J_0=\boxed{\text{(ア)}}\text{，}{J}_1=\boxed{\text{(イ)}}$である．

(2)　$n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots$にたいして，$J_n$と$J_{n-2}$との間には，次の漸化式がなりたつ．

$J_n=\boxed{\text{(ウ)}}{J}_{n-2}$

(3)　$k=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots$にたいして，$J_{2k}$と$J_{2k+1}$の値はそれぞれ$J_{2k}=\boxed{\text{(エ)}}\text{，}{J}_{2k+1}=\boxed{\text{(オ)}}$

である．

(4)　$k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$とする．$xyz$空間において，$xz$平面上で曲線

$l_1:z={\sin }^{2k+1}x\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$

と$x$軸で囲まれた図形を$S_1$とし，$yz$平面上で曲線

$l_2:z={\sin }^{2k}y\text{（}0\leqq y\leqq \pi \text{）}$

と$y$軸で囲まれた図形を$S_2$とする．また，$t$が$0\leqq t\leqq \pi$の範囲を変化するとき，$2$点${\mathrm{P}}_1(t,0,{\sin }^{2k+1}t)\text{，}{\mathrm{P}}_2(0,t,{\sin }^{2k}t)$を結ぶ線分${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$が動いて描く曲面を$S_3$とする．図形$S_1\text{，}{S}_2\text{，}$曲面$S_3\text{，}xy$平面の$4$つで囲まれる立体図形の概形を所定の欄に描き，またその体積$V$を求めなさい．

【３】　$t$を定数として$xy$平面上の直線

$C_t:y=(x+t)e^t$

を考える．$t$が$t>0$の範囲を変化するとき，$C_t$が通る範囲を求め，その概形を所定の欄に図示しなさい．

【４】　設問(1)，(5)では，文章の空欄に適当な数，式，または記号を入れて文章を完成しなさい．解答は解答用紙の所定の解答欄に記入しなさい．

(1)　変数$x\text{，}y$と変数$X\text{，}Y$の間に次の関係式がなりたつとする．

$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)$

$a\text{，}b\text{，}c$は定数で，$b\ne 0$とする．$x\text{，}y$の多項式$a{x}^2+bxy+c{y}^2$をこの関係式を用いて$X\text{，}Y$の$2$次の多項式$A{X}^2+BXY+C{Y}^2$に変形するとき，$B=\sqrt{\boxed{\text{(ア)}}}\sin (2\alpha +k)$となる$k$がある．ただし，${\displaystyle \frac{\cos k}{\sin k}}=\boxed{\text{(イ)}}$である．$\alpha$として，たとえば$\alpha =-{\displaystyle \frac{k}{2}}$ととると，$B=0$となる．したがって，$XY$の項のない$A{X}^2+C{Y}^2$の形の多項式に変形できることがわかる．

(2)　平面における位置ベクトル$\overrightarrow{u}$と$\overrightarrow{v}$は，ともに零ベクトルでなく，互いに平行でないとする．位置ベクトル$\overrightarrow{p}$を

$\overrightarrow{p}=\cos \beta \overrightarrow{u}+\sin \beta \overrightarrow{v}$

で定める．すべての実数$\beta$にたいして

$\left|\overrightarrow{p}\right|\leqq \left|\overrightarrow{u}\right|+\left|\overrightarrow{v}\right|$

が成り立つことを証明しなさい．

(3)　$\beta$が$0\leqq \beta \leqq 2\pi$の範囲を変化するとき，設問(2)における$\overrightarrow{p}$の終点の軌跡は円またはだ円であることを証明しなさい．

(4)　$xyz$空間の点$\mathrm{P}$の座標$(x(\theta ),y(\theta ),z(\theta ))$を次のように定める．

$x(\theta )=5\cos \theta +2\sin \theta +1$

$y(\theta )=-\cos \theta -\sin \theta +2$

$z(\theta )=\cos \theta -2\sin \theta -1$

$\theta$が$0\leqq \theta \leqq 2\pi$の範囲を変化するとき，点$\mathrm{P}$が描く曲線$C$はある平面$\pi$に含まれる円またはだ円であることを証明しなさい．

(5)　設問(4)における$C$の中心の座標は$\boxed{\text{(ウ)}}$であり，平面$\pi$の方程式は$\boxed{\text{(エ)}}=10$である．また，$C$の中心$\mathrm{Q}$から$C$上の点$\mathrm{P}$への距離$\mathrm{QP}$の最大値は$\boxed{\text{(オ)}}$であり，最小値は$\boxed{\text{(カ)}}$である．したがって，$C$はだ円である．