1996　上智大学　法学部MathJax

【１】　選択肢(α)，(β)，(γ)，(δ)から$1$つ選んで，以下の命題を完成させよ．

(1)　$ad-bc\ne 0$であることは，$x\text{，}y$に関する方程式

$\{\begin{array}{l}ax+by=2\\ cx+dy=-1\end{array}$

が解をもつための$\boxed{\text{ア}}$．

(2)　$m\text{，}n$を整数とする．$m\text{，}n$がともに$3$の倍数であることは$m^3+n^3$が$3$の倍数であるための$\boxed{\text{イ}}$．

選択肢

(α)　必要条件ではあるが，十分条件ではない

(β)　十分条件ではあるが，必要条件ではない

(γ)　必要十分条件である

(δ)　必要条件でも十分条件でもない

【２】(1)　$t$の$2$次方程式$t^2+(a+1)t-{\displaystyle \frac{1}{4}}(a^3-4a-3)=0$が異なる$2$つの虚数解をもつための必要十分条件は

$a<\boxed{\text{ウ}}\sqrt{\boxed{\text{エ}}}\text{，}\boxed{\text{オ}}<a<\boxed{\text{カ}}\sqrt{\boxed{\text{キ}}}$

である．ただし，$a$は実数とする．

【３】(2)　$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(3,4)\text{，}\mathrm{B}(1,k)$を頂点とする三角形$\mathrm{OAB}$が直角三角形になる$k$の値は$\boxed{\text{ク}}$個ある．このうち最も小さい$k$の値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}$であり，最も大きい$k$の値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$である．

【３】　$a>0$とする．行列$A=\left(\begin{array}{cc}-1& a\\ b& 3\end{array}\right)$で表される一次変換を$f$とする．

(1)　$f$が点$(1,-1)$を点$\mathrm{Q}$に移し，点$\mathrm{Q}$を点$(4,-4)$に移すならば$a=\boxed{\text{ス}}\text{，}b=\boxed{\text{セ}}$である．

(2)　全平面の$f$による像が直線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}x$であるならば$a=\boxed{\text{ソ}}\text{，}b={\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}$である．

【４】　球面$S:x^2+y^2+{(z-a)}^2=3$と平面$\alpha :x+y+z=0$がある．

(1)　$S$と$\alpha$が接していれば$a=\pm \boxed{\text{ツ}}$である．ただし，$\boxed{\text{ツ}}>0$とする．

(2)　点$\mathrm{P}(x,y,z)$が $x^2+y^2=3$という条件を満たしながら平面$\alpha$の上を動いている．このとき$z$の最大値は$\boxed{\text{テ}}\sqrt{\boxed{\text{ト}}}$であり，最小値は$\boxed{\text{ナ}}\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}$である．

　また，$a=\boxed{\text{ツ}}$のとき，$S$と$\alpha$の接点$\mathrm{A}$の座標は$(\boxed{\text{ヌ}},\boxed{\text{ネ}},\boxed{\text{ノ}})$であり，${\mathrm{PA}}^2=\boxed{\text{ハ}}{z}^2+\boxed{\text{ヒ}}z+\boxed{\text{フ}}$である．$a=-\boxed{\text{ツ}}$のときの$S$と$\alpha$の接点を$\mathrm{B}$とすると$\mathrm{PA}+\mathrm{PB}=\boxed{\text{ヘ}}$である．