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1996-13363-0701
1996 上智大学 理工学部
機械工学科・電気電子学科
易□ 並□ 難□
【1】 xyz 空間内の直線 l は点 P (0 ,3,4 ) を通り,点 C (0 ,2,1 ) を中心とする半径 1 の球に接しながら動く.直線 l と x y 平面との交点を Q (x ,y) とする.
(1) O を原点とすると,直線 l 上の点 S は OS →= OP→+ t⁢PQ → とパラメータ表示できる. l と球の交点が満たす t の条件を求め,次に l が球と一点でしか交わらないことを利用して Q ( x,y ) の軌跡を x と y の式で表せ.またこの軌跡で囲まれる部分の面積を求めよ.
(2) ▵PCQ が動いてできる立体図形の体積を求めよ.
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【2】 P0⁡ (x) ,P 1⁡( x) ,P 2( x) を各々 0 次, 1 次, 2 次の多項式とし,次の条件が満たされているとする.
(条件1) n=0 ,1 ,2 に対して次の式が成り立つ.
∫- 11 ⁡( Pn⁡ (x) )2 ⁢dx =2 2⁢n+ 1
(条件2) m ,n=0 , 1 ,2 に対して,もしも m≠ n ならば次の式が成り立つ.
∫ -11 ⁡ Pm⁡ (x) ⁢Pn ⁡(x )⁢d x=0
(1) このとき P 1⁡( x)= ア ⁢ x+ イ
P2⁡ (x) = ウ エ ⁢ x2+ オ カ ⁢ x+ キ ク
である.ただし,最高次の係数は正数とする.
(2) C1 ,C2 , A ,B を定数とし, n=1 ,2 に対して
Pn⁡ (x )= Cn⁢ dn dx n ⁢( (x +A) n⁢ (x+ B) n)
が成り立っているとする. A>B とすると A= ケ , B= コ である.
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【3】 f⁡( x)= ex+ e-x 2 , g⁡( x)= ex- e-x 2 とおく.
(1) 次の等式が成り立つ.
f′⁡ (x ), g′⁡ (x) =f⁡( x)
サ ⁢ f⁡( x)2 + シ ⁢ g ⁡(x )2 =1
(2) A を実数とする.方程式
2⁢f⁡ (x) -3⁢g ⁡(x )=A
が正数解 x を持つための必要十分条件は A< ス が成り立つことである.
(3) xy 平面において y= f⁡( x) のグラフを C とおく. a を正数とし, (a, f⁡( a) ) で表される C 上の点を P , P における C の接線 l が x 軸と交わる点を Q , P を通り l に直交する直線が x 軸と交わる点を R とおく.三角形 PQR の面積は
a= セ ソ ⁢ log⁡ タ
のとき最小となり,その最小値は
チ ⁢ ツ テ
である.
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【4】 袋の中に何も書かれていない 3 枚のカードが入っている.無作為に 1 枚のカードを取り出し,そのカードに丸印をひとつ書き加え,再び袋にもどす,という操作を,袋の中のすべてのカードに 1 個以上の丸印がつけられるまでくり返す.このとき, k 回目の操作で終了する確率を P k とする.
(1) P3= ト ナ ,P4 = ニ ヌ であり,一般に Pk= 2k-1 - ネ ノ k-1 である.
(2) この操作が k+ 1 回以上続く確率を Q k とすれば Qk= 2k- ハ ヒ k-1 である.
(3) k 回目の操作の後,まだ丸印のついていないカードがあることがわかった.このとき,つぎの操作,つまり k +1 回目の操作で終了する確率は
13 ⁢( 1- フ ヘ k-1 )