1996 上智大学 理工(機械・電気電子)学部MathJax

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1996 上智大学 理工学部

機械工学科・電気電子学科

易□ 並□ 難□

【1】  xyz 空間内の直線 l は点 P (0 ,3,4 ) を通り,点 C (0 ,2,1 ) を中心とする半径 1 の球に接しながら動く.直線 l x y 平面との交点を Q (x ,y) とする.

(1)  O を原点とすると,直線 l 上の点 S OS = OP+ tPQ とパラメータ表示できる. l と球の交点が満たす t の条件を求め,次に l が球と一点でしか交わらないことを利用して Q ( x,y ) の軌跡を x y の式で表せ.またこの軌跡で囲まれる部分の面積を求めよ.

(2)  PCQ が動いてできる立体図形の体積を求めよ.

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【2】  P0 (x) P 1( x) P 2( x) を各々 0 次, 1 次, 2 次の多項式とし,次の条件が満たされているとする.

(条件1)  n=0 1 2 に対して次の式が成り立つ.

- 11 ( Pn (x) )2 dx =2 2n+ 1

(条件2)  m n=0 1 2 に対して,もしも m n ならば次の式が成り立つ.

-11 Pm (x) Pn (x )d x=0

(1) このとき P 1( x)= x+

P2 (x) = x2+ x+

である.ただし,最高次の係数は正数とする.

(2)  C1 C2 A B を定数とし, n=1 2 に対して

Pn (x )= Cn dn dx n ( (x +A) n (x+ B) n)

が成り立っているとする. A>B とすると A= B= である.

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【3】  f( x)= ex+ e-x 2 g( x)= ex- e-x 2 とおく.

(1) 次の等式が成り立つ.

f (x ) g (x) =f( x)

f( x)2 + g (x )2 =1

(2)  A を実数とする.方程式

2f (x) -3g (x )=A

が正数解 x を持つための必要十分条件は A< が成り立つことである.

(3)  xy 平面において y= f( x) のグラフを C とおく. a を正数とし, (a, f( a) ) で表される C 上の点を P P における C の接線 l x 軸と交わる点を Q P を通り l に直交する直線が x 軸と交わる点を R とおく.三角形 PQR の面積は

a= log

のとき最小となり,その最小値は

である.

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【4】 袋の中に何も書かれていない 3 枚のカードが入っている.無作為に 1 枚のカードを取り出し,そのカードに丸印をひとつ書き加え,再び袋にもどす,という操作を,袋の中のすべてのカードに 1 個以上の丸印がつけられるまでくり返す.このとき, k 回目の操作で終了する確率を P k とする.

(1)  P3= P4 = であり,一般に Pk= 2k-1 - k-1 である.

(2) この操作が k+ 1 回以上続く確率を Q k とすれば Qk= 2k- k-1 である.

(3)  k 回目の操作の後,まだ丸印のついていないカードがあることがわかった.このとき,つぎの操作,つまり k +1 回目の操作で終了する確率は

13 ( 1- k-1 )

である.

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