1996　上智大学　理工(数・物・化)学部MathJax

【１】(1)　図１の丸の中の文字$a\text{，}b\text{，}\cdots \text{，}f$はすべて数を表わし，その数の$2$倍に$1$を加えた値は，線分でつながっている隣の数の和に等しい．たとえば$2a+1=b\text{，}2b+1=a+c$である．$c$を$a$および$e$で別々に表せば，$e=\boxed{\text{ア}}a$が得られ，$a=\boxed{\text{イ}}\text{，}f=\boxed{\text{ウ}}$となる．

(2)　図２の丸の中の数字$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_{12}$は(1)と同じようにすべて数を表わし，その数の$2$倍に$1$を加えた値は，線分でつながっている隣の数の和に等しい．このとき$a_5=\boxed{\text{エ}}{a}_1+\boxed{\text{オ}}$となり，$a_{12}=\boxed{\text{カ}}{a}_1+\boxed{\text{キ}}$となる．よって$a_1=\boxed{\text{ク}}$である．

【２】　図３のような，$1$辺の長さが$a$の立方体がある．辺の$\mathrm{BC}$を含む直線を$l$とし，頂点$\mathrm{C}$から頂点$\mathrm{B}$の方向へ$x$の距離になる$l$上の点を$\mathrm{P}\text{，}$頂点$\mathrm{B}$から頂点$\mathrm{C}$の方向へ$x$の距離にある$l$上の点を$\mathrm{Q}$とする．この立体を，点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{F}$を通る平面と，点$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{G}$を通る平面で切断したときにできる立体のうち，頂点$\mathrm{E}$を含むものの体積を$V(x)$とする．$x>a$とし，線分$\mathrm{DP}$と線分$\mathrm{AQ}$の交点を$\mathrm{R}$とすれば，$\mathrm{R}$と線分$\mathrm{BC}$の中点との距離は

$a(\boxed{\text{ケ}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}\times {\displaystyle \frac{a}{x}})$

であり，

$V(x)=a^3({\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}+{\displaystyle \frac{a}{\boxed{\text{セ}}x}}-{\displaystyle \frac{a^2}{\boxed{\text{ソ}}{x}^2}})$

となる．また，

$\underset{x\to +\infty }{\lim }V(x)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}\times a^3$

である．

【３】　曲線$C$を図４のような$y^2=x^3+1$のグラフとする．$C$上の点$\mathrm{P}(2,3)$での接線$l$の傾きは$\boxed{\text{ツ}}$であり，この接線$l$が$C$と再び交わる点$\mathrm{Q}$の座標は$(\boxed{\text{テ}},\boxed{\text{ト}})$である．$x$軸を中心に$C$と線分$\mathrm{PQ}$で囲まれた図形を回転すると，回転体の体積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}\pi$となる．

　$\mathrm{P}$を通り，$\mathrm{P}$以外の点で$C$に接する直線を$l^{\prime }$とする．$l^{\prime }$の傾きを$m$とすると，接点の$x$座標は$2$次方程式を満たすので，$m$は

$m^4+\boxed{\text{ヌ}}{(m+\boxed{\text{ネ}})}^2=0$

を満たす．この方程式の$2$つの実根を$m_1\text{，}{m}_2$とすると

$m_1+m_2=\boxed{\text{ノ}}\sqrt{\boxed{\text{ハ}}}$

となる．

【４】　図５のように原点を中心とし，頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{D}$が$x$軸上に載っている正六角形$\mathrm{ABCDEF}$がある．$6$つの頂点$\mathrm{A}\text{，}\cdots \text{，}\mathrm{F}$の中から無作為に$3$つの頂点を選び三角形$T_1$を作る．${\mathrm{T}}_1$に次の〔ア〕の操作を施し，さらに〔イ〕の操作を施して移った先の三角形を$T_2$とする．

〔ア〕　サイコロを投げ，目の数が$j$であるとき，原点を中心とする正の方向に角${\displaystyle \frac{j}{3}}\pi$の回転移動を施す．

〔イ〕　硬貨を投げ，表が出たらそのまま，裏が出たら$y$軸に関する対称移動を施す．

(1)　頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$が選ばれたとき，$T_1$と$T_2$が丁度重なり合う確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒ}}}{\boxed{\text{フ}}}}$である．

(2)　サイコロの目が$3\text{，}$硬貨が裏であるとき，$T_1$と$T_2$が丁度重なり合う確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヘ}}}{\boxed{\text{ホ}}}}$である．

(3)　$T_1$と$T_2$が丁度重なり合う確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{マ}}}{\boxed{\text{ミ}}}}$である．

(4)　$T_1$と$T_2$が丁度重なり合ったとき，その三角形が正三角形である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ム}}}{\boxed{\text{メ}}}}$である．