1996　上智大学　理工(数)学部MathJax

【１】　$X=\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& w\end{array}\right)$に対して$\mathrm{tr}(X)=x+w$とおく．$A\text{，}B$を$2$次正方行列とする．

(1)　$\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)$となることを示せ．

(2)　$\mathrm{tr}(A)=0$かつ$\mathrm{tr}(A^2)=0$ならば$A^2=O$（零行列）となることを示せ．

(3)　$A=AB-BA$ならば$A^2=O$となることを示せ．

【２】　$r(\theta )$を$\theta$の関数とする．ただし定義域は$0\leqq \theta \leqq \pi$とする．$xyz$空間の$2$点$(1,0,0)$と$(r(\theta )\cos \theta ,r(\theta )\sin \theta ,1)$を結ぶ線分を$z$軸のまわりに$1$回転してできる曲面を$S$とする．$z=0\text{，}z=1$の$2$平面と$S$で囲まれた部分の体積を$V(\theta )$とおく．

(1)　$V(\theta )$を$r(\theta )$と$\theta$で表せ．

(2)　$r(\theta )=\sin \theta$であるとき，$V(\theta )$の最大値と最小値を求めよ．

(3)　$r(\theta )=\theta$であるとき，${\displaystyle \frac{d}{d\theta }}V(\theta )>0$を示せ．

【３】　$0<a<1$に対して単位円上の点${\mathrm{P}}_n$を

${\mathrm{P}}_n=(\cos (na\pi ),\sin (na\pi ))\text{，}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

と定める．

(1)　ある自然数$m$に対して${\mathrm{P}}_m=(1,0)$となる必要十分条件は，$a=\text{有理数}$であることを示せ．

(2)　${\mathrm{P}}_m=(1,0)$となる最小の$m$を$m_0$とする．$a={\displaystyle \frac{3}{8}}\text{，}{\displaystyle \frac{4}{9}}\text{，}{\displaystyle \frac{5}{9}}$の場合の$m_0$の値を各々求めよ．

(3)　一般に$a={\displaystyle \frac{p}{q}}$（$p$と$q$は互いに素な自然数）のとき，$m_0$はどうなるか．このとき，${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_{m_0}$は異なる点であることを示せ．

(4)　$a$を有理数とし，${\mathrm{P}}_i$と${\mathrm{P}}_j$を隣り合う単位円上の点とすれば，

$\text{中心角}\angle {\mathrm{P}}_i\mathrm{O}{\mathrm{P}}_j={\displaystyle \frac{2\pi }{m_0}}$

であることを示せ．つまり等間隔で並んでいることを示せ．