1997　大学入試センター試験　本試験　数学II・数学IIBMathJax

【１】

〔１〕　実数$x，y$が

$11x^2+12xy+6y^2=4$

を満たすとき，$x^2+y^2$の最大値と最小値を次のように求めよう．

　$xy$平面上の原点$\mathrm{O}$と他の点$\mathrm{P}(x,y)$を結ぶ線分$\mathrm{OP}$の長さを$r$，$x$軸と動径$\mathrm{OP}$のなす角を$\theta$とすると，

• ${\displaystyle \frac{1}{r^2}}(11x^2+12xy+6y^2)$
• $=\boxed{\text{ア}}{\cos }^2\theta +\boxed{\text{イウ}}\sin \theta \cos \theta +\boxed{\text{エ}}$
• $={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}\cos 2\theta +\boxed{\text{キ}}\sin 2\theta +\frac{\boxed{\text{クケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}$
• $={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サシ}}}{\boxed{\text{ス}}}\sin (2\theta +\alpha )+\frac{\boxed{\text{クケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}$

である．ただし

$\sin {\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソタ}}}}$，$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{チツ}}}{\boxed{\text{テト}}}}$

である．したがって，$x^2+y^2$の最大値は$\boxed{\text{ナ}}\text{，}$最小値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌネ}}}}$である．

【１】

〔２〕　

$f(x)={\log }_3(x-2)+{\log }_3(x-3)-{\log }_3(x+1)$

とする．

　$f(x)=0$を変形すると，$2$次方程式

$x^2-\boxed{\text{ノ}}x+\boxed{\text{ハ}}=0$

を得る．

　したがって，$f(x)=0$の解は

$x=\boxed{\text{ヒ}}$

であり，$f(x)\leqq 0$となる$x$の値の範囲は

$\boxed{\text{フ}}<x\leqq \boxed{\text{ヘ}}$

である．

【２】

〔１〕　$f(x)=x^3-{\displaystyle \frac{4}{3}}x$とする．曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{A}(a,f(a))$における接線の方程式は

$y=(\boxed{\text{ア}}{\boxed{\text{イ}}}^2-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}})x$$-\boxed{\text{オ}}{\boxed{\text{カ}}}^{\boxed{\text{キ}}}$

である．この接線が曲線上の他の点$\mathrm{B}(b,f(b))$を通るならば$b=\boxed{\text{クケ}}a$であり，点$\mathrm{B}$での接線に直交するならば

$a^2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サシ}}}}$

である．

【２】

〔２〕　点$(1,1)$を通る傾き$a$の直線$l$の方程式は

$y=\boxed{\text{ス}}x-\boxed{\text{セ}}+\boxed{\text{ソ}}$

である．この直線$l$と放物線

$C:y=x^2$

の交点の$x$座標は$1$と$\boxed{\text{タ}}-\boxed{\text{チ}}$である．$\boxed{\text{タ}}-\boxed{\text{チ}}$が負であるとき，$l$と$C$で囲まれた図形の$x\leqq 0$の部分の面積は

${\displaystyle \frac{{(\boxed{\text{タ}}-\boxed{\text{チ}})}^{\boxed{\text{ツ}}}(\boxed{\text{テ}}-\boxed{\text{ト}})}{\boxed{\text{ナ}}}}$

である．

【３】　一辺の長さが$\sqrt{10}$であり，対角線の交点の座標が$(3,2)$である正方形$\mathrm{Q}$について考える．

(1)　正方形$\mathrm{Q}$の二つの頂点が曲線$y=x^2$の上に同時にのっている場合，その二つの頂点の$x$座標は整数で，$\boxed{\text{ア}}$と$\boxed{\text{イ}}$である．

(2)　正方形$\mathrm{Q}$の一つの頂点で，$y>x^2$の表す領域にあり，座標が整数であるものは

$(\boxed{\text{ウ}},\boxed{\text{エ}})$

である．

　このとき，正方形$\mathrm{Q}$の他の三つの頂点は，$x$座標の小さいものから順に

$(\boxed{\text{オ}},\boxed{\text{カ}})，(\boxed{\text{キ}},\boxed{\text{ク}})，(\boxed{\text{ケ}},\boxed{\text{コ}})$

である． 　また，このとき正方形$\mathrm{Q}$の辺と曲線$y=x^2$との交点の$x$座標のうち小さいものは

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{サシ}}+\sqrt{\boxed{\text{スセ}}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$

である．

【４】　$a>0$とし，二つの放物線

• $y={\displaystyle \frac{a}{2}}{x}^2$
• $y={\displaystyle -\frac{a}{2}{x}^2+\frac{a}{1+a}}$

を考える．二つの放物線の交点の$x$座標は

$x=\pm {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\sqrt{\boxed{\text{イ}}+\boxed{\text{ウ}}}}}$

であり，二つの放物線で囲まれた部分の面積$S$は

$S={\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}\times \frac{a}{{(\sqrt{\boxed{\text{イ}}+\boxed{\text{ウ}}})}^{\boxed{\text{カ}}}}}$

となる．

　ここで$t={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\boxed{\text{イ}}+\boxed{\text{ウ}}}}}$とおくと，$\boxed{\text{キ}}<t<\boxed{\text{ク}}$であり，

$S={\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}\times (t-t^{\boxed{\text{ケ}}})$

となる．$t={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\boxed{\text{コ}}}}}$のとき，$S$は最大値をとる．したがって，$a=\boxed{\text{サ}}$のとき面積$S$は最大となり，その値は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{スセ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ソ}}}$

である．

【３】　正四面体$\mathrm{OABC}$において$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}，$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}，$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．辺$\mathrm{OA}$を$4:3$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$を$5:3$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．そのとき

$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{アイ}}}{\boxed{\text{ウ}}}\overrightarrow{a}+\frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}\overrightarrow{b}+\frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}\overrightarrow{c}}$

である．

　線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{R}$とし，直線$\mathrm{AR}$が$▵\mathrm{OBC}$の定める平面と交わる点を$\mathrm{S}$とする．そのとき

$\mathrm{AR}:\mathrm{AS}=\boxed{\text{ク}}:\boxed{\text{ケ}}$

である．また

$\cos \angle \mathrm{AOQ}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}$

である．

【４】　複素数平面上で$4+8i，$$\mathrm{-4}-4i，$$8-8i$を表す$3$点をそれぞれ$\mathrm{A}，$$\mathrm{B}，$$\mathrm{C}$とする．線分$\mathrm{BC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{D}$，線分$\mathrm{AC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{E}$，線分$\mathrm{AB}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{F}$とすれば，$\mathrm{D}，$$\mathrm{E}，$$\mathrm{F}$を表す複素数はそれぞれ

$\boxed{\text{ア}}-\boxed{\text{イ}}i$，$\boxed{\text{ウ}}-\boxed{\text{エ}}i$，$\boxed{\text{オ}}+\boxed{\text{カ}}i$

となる．線分$\mathrm{EC}$を$\mathrm{E}$を中心として$90°$回転し，さらに長さを$x$倍した線分を$\mathrm{EP}$とすれば，$\mathrm{P}$を表す複素数は

$\boxed{\text{キ}}x+\boxed{\text{ク}}+(x-\boxed{\text{ケ}})i$

である．線分$\mathrm{FA}$を$\mathrm{F}$を中心として$90°$回転し，さらに長さを$y$倍した線分を$\mathrm{FQ}$とすれば，$\mathrm{Q}$を表す複素数は

$\boxed{\text{コ}}-\boxed{\text{サ}}y+(\boxed{\text{シ}}+\boxed{\text{ス}}y)i$

である．線分$\mathrm{DP}$と線分$\mathrm{DQ}$のなす角が$90°$であるとき

$xy=\boxed{\text{セ}}$

である．

【５】　青玉が$9$個，白玉が$6$個，赤玉が$3$個，合計$18$個の玉が入っている袋がある．袋から玉を$1$個ずつ取り出す．取り出した玉は袋に戻さないこととする．この袋から玉を$1$個ずつ$3$回取り出す試行により確率変数$X，$$Y，$$Z$を次のように定義する．

　最初の玉が，青玉のとき$X=0$，白玉のとき$X=1$，赤玉のとき$X=2$とする．次の玉が，青玉のとき$Y=0$，白玉のとき$Y=1$，赤玉のとき$Y=2$とする．最後の玉が，青玉のとき$Z=0$，白玉のとき$Z=1$，赤玉のとき$Z=2$とする．

　そして，確率を$P$，平均を$E$，分散を$V$で表す．

(1)　

$P(XY=1)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イウ}}}}\text{，}P(XYZ=0)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{エオ}}}{\boxed{\text{カキ}}}}$

である．

(2)　

$E(X)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}\text{，}V(X)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}$

である．

(3)　

$E(XY)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{スセ}}}}$

である．

【６】　次のプログラムを実行すると数の入力を$2$回求めてくる．このとき，二つの正の整数を入力して実行するとして，下の問いに答えよ．

• 110 INPUT"n=";N
• 120 INPUT"f =";F
• 130 D = 0
• 140 FOR I = 1 TO N
• 150  X = I :C = 0
• 160  IF X = INT(X/F)*F THEN X = INT(X/F) :C = C + 1 :GOTO 160
• 170  IF C > 0 THEN PRINT C
• 180  D = D + C
• 190 NEXT I
• 200 PRINT "d =";D
• 210 END

(1)　n = ? に対して$30$，f = ? に対して$5$を入力したとき，$1$が$\boxed{\text{ア}}$個，$2$が$\boxed{\text{イ}}$個表示され，最後に d = $\boxed{\text{ウ}}$と表示される．

(2)　n = ? に対して$300$，f = ? に対して$7$を入力したとき，最後に d= $\boxed{\text{エオ}}$と表示される．

(3)　n = ? に対してある数$k$，f = ? に対して$7$を入力したとき，最後に d = $\boxed{\text{エオ}}$と表示されたとする．このような$k$は$\boxed{\text{カ}}$個あり，その中で値がもっとも小さい$k$は $\boxed{\text{キクケ}}$である．

【１】　$0<a<1\text{，}$$0<b<1\text{，}$$0<c<1\text{，}$$0<d<1$とする．平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CD}\text{，}$$\mathrm{DA}$を$a:1-a\text{，}$$b:1-b\text{，}$$c:1-c\text{，}$$d:1-d$に内分する点を，それぞれ$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}\text{，}$$\mathrm{G}\text{，}$$\mathrm{H}$とし，

$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{q}=\overrightarrow{\mathrm{AD}}\text{，}$$\theta =\angle \mathrm{BAD}$$\text{（}0\mathrm{°}<\theta <180\mathrm{°}\text{）}$

とおく．

(1)　このとき

$\overrightarrow{\mathrm{EF}}=(\boxed{\text{ア}}-\boxed{\text{イ}})\overrightarrow{p}+\boxed{\text{ウ}}\overrightarrow{q}$

$\overrightarrow{\mathrm{FG}}=\boxed{\text{エオ}}\overrightarrow{p}+(\boxed{\text{カ}}-\boxed{\text{キ}})\overrightarrow{q}$

$\overrightarrow{\mathrm{EG}}=(\boxed{\text{ク}}-\boxed{\text{ケ}}-\boxed{\text{コ}})\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}$

である．

(2)　四角形$\mathrm{EFGH}$が平行四辺形となるための必要十分条件は

$\boxed{\text{サ}}-\boxed{\text{シ}}=0\text{，}$$\boxed{\text{ス}}-d=\boxed{\text{セ}}$

である．さらにこの四角形がひし形であって，$a=b={\displaystyle \frac{1}{2}}$であったとすると

$\theta =\boxed{\text{ソタ}}\mathrm{°}$

である．

(3)　$\mathrm{AB}=3\text{，}$$\mathrm{AD}=2\text{，}$$b={\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．四角形$\mathrm{EFGH}$がひし形になるための$a$の範囲は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}<a<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}$

である．

(4)　二つの四角形$\mathrm{ABCD}\text{，}$$\mathrm{EFGH}$をともにひし形とする．$\theta =60\mathrm{°}$のとき，四角形$\mathrm{EFGH}$の面積の最小値は

$\boxed{\text{ナ}}(1-{\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}){\mathrm{AB}}^2$

である．このとき

$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}-\sqrt{\boxed{\text{ノ}}}}{\boxed{\text{ハ}}}}\text{，}$$b={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ヒ}}}-\boxed{\text{フ}}}{\boxed{\text{ヘ}}}}$

である．

【２】〔１〕　初項$a\text{，}$公差$d$の等差数列$a_1\text{，}$$a_2\text{，}\cdots$の初項から第$n$項までの和

$a_1+a_2+\cdots +a_n$

が$70$であり，初項から第$2n-1$項までの奇数番目の項の和

$a_1+a_3+\cdots +a_{2n-1}$

が$490$であり，第$n+1$項から第$2n$項までの和

$a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{2n}$

が$945$である．このとき

$n=\boxed{\text{アイ}}\text{，}$$a=\boxed{\text{ウエオ}}\text{，}$$d={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}$

である．

【２】〔２〕　$f(x)=x^3-{\displaystyle \frac{5}{3}}x$とし，曲線$C:y=f(x)$を考える．$C$上の点$(b,f(b))$における接線$l$の方程式は

$y=(\boxed{\text{ク}}{b}^{\boxed{\text{ケ}}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}})x-\boxed{\text{シ}}{\boxed{\text{ス}}}^{\boxed{\text{セ}}}$

である．

　$b>0$とする．接線$l$がある点$\mathrm{P}$で曲線$C$と交わり，その点$\mathrm{P}$における$C$の接線と$l$とが直交するならば

$b={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ソ}}}}{3}}$または$b={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{タチ}}}}{\boxed{\text{ツ}}}}$

である．このとき，$\mathrm{P}$の$x$座標は

$-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}\sqrt{\boxed{\text{ト}}}}{3}}$または$-{\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ナニ}}}}{3}}$

である．

　$b={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ソ}}}}{3}}$のとき，接線$l$と曲線$C$で囲まれた図形の$x\leqq 0$の部分の面積は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネノ}}}}$

である．

【３】　赤球と白球とをたくさん用意しておき，そのうちの何個かを袋の中に入れておく．袋の中から同時に$2$個の球を取り出し，代わりに何個かを戻す試行を次の規則にしたがって行う．

(a)　取り出した球が$2$個とも赤球ならば，赤球$3$個を袋の中に戻す．

(b)　取り出した球が赤球，白球$1$個ずつならば，白球$2$個を袋の中に戻す．

(c)　取り出した球が$2$個とも白球ならば，白球$1$個だけを袋の中に戻す．

（この試行は，袋の中の球の個数が$2$個以上であるとき行うことができる．）

　最初，袋の中に赤球と白球を$2$個ずつ入れておく．

　（（$\boxed{\text{ア}}$），（$\boxed{\text{エ}}$），（$\boxed{\text{オ}}$）は，上の(a)，(b)，(c)のうちから選べ．）

(1)　$1$回目の試行が終わったときに，袋の中の白球が赤球より大きいのは$\text{（}\boxed{\text{ア}}\text{）}$が起こった場合であり，その確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}$である．

(2)　$2$回目の試行が終わったときに，袋の中の白球が$3$個であるのは$1$回目に$\text{（}\boxed{\text{エ}}\text{）}$が，$2$回目に$\text{（}\boxed{\text{オ}}\text{）}$が起こった場合で，その確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キク}}}}$である．

(3)　$2$回目の試行が終わったときに，袋の中の赤球が$3$個である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケコ}}}{\boxed{\text{サシス}}}}$である．

(4)　袋の中の球を$2$個にするためには最小限$\boxed{\text{セ}}$回の試行をしなければならない．$\boxed{\text{セ}}$回の試行で袋の中の球が$2$個になる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タチ}}}}$である．

(5)　袋の中の赤球，白球は最小限$\boxed{\text{ツ}}$回の試行で$2$個ずつの状態に戻ることができる．$\boxed{\text{ツ}}$回の試行で赤球，白球がともに$2$個になる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{テトナ}}}{\boxed{\text{ニヌネノ}}}}$である．