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1997-10001-0101
1997 北海道大学 前期
文系学部
易□ 並□ 難□
【1】 平面上に原点 O を中心とする半径 r の円 C と点 A (r, 0) がある. y 軸に平行な直線 x= r 上に点 P (r, t) をとる.ただし, t≠0 とする.
(1) 点 P を通り,円 C と接する直線で直線 PA と異なるものを l とする. l と円 C との接点を T とするとき,点 T の座標を r , t を用いて表せ.
(2) 線分 AT と線分 OP との交点を Q とする.点 P が直線 x= r の第 1 象限にある部分を動くとき,点 Q の軌跡を求めよ.
1997-10001-0102
【2】 近似値 log 10⁡2 =0.3010 ,log10 ⁡3= 0.4771 を利用して次の問いに答えよ.
(1) 1835 の桁数を求めよ.
(2) 1835 の最高位の数字が 8 であることを示せ.
1997-10001-0103
【3】 O を原点とする座標平面上に,点 A (a ,0 ) を中心とする半径 1 の円 C がある.ただし, a≧ 0 とする. C と x 軸との交点のうち右側にあるものを B とする. 0°< θ≦45 ° とし,第 1 象限内で,円 C 上に 2 点 P , Q を ∠PAB =θ ,∠ QAB=2 ⁢θ となるようにとる. P から y 軸に下ろした垂線を P P ′ とし, Q から x 軸に下ろした垂線を Q Q ′ とする. O P ′ と O Q ′ を 2 辺とする長方形の面積 S について考える.
(1) t=sin⁡ θ とおくとき, S を a と t で表せ.
(2) θ が 0 °<θ ≦45 ° の範囲を動くとき, S の最大値とそのときの t の値を a で表せ.
1997-10001-0104
【4】,【5】から1題選択
【4】 0 でない複素数 z に対し, w =z2 − 1z 2 とおく.このとき, w の実部が正になるような z の範囲を複素数平面上に図示せよ.
1997-10001-0105
【5】 原点を O とする平面において,点 A (0 ,2) とベクトル c→ =(1 ,−2 ) をとり,ベクトル方程式 p→ =OA →+ t⁢c → で表される直線を l とする.原点 O を発した光が, l 上の点 Q (a ,b) で l にあたって反射するとき,その反射光のなす半直線を l ′ で表す.ただし,光は直進し,線分 OQ と l のなす角度は l ′ と l のなす角度と等しくなるように反射するものとする.
(1) 直線 l に関して O と対称な点 O ′ の座標を求めよ.
(2) 半直線 l ′ を含む直線のベクトル方程式が p→ =OQ → +t⁢ d→ となるようなベクトル d → を一つ求め,その成分を a を用いて表せ.
1997-10001-0106
理系学部
【1】 実数 x に対して, x 以下の整数のうちで最大のものを [x ] と書くことにする. c>1 として, an = [n⁢ a]c ( n=1 , 2 ,⋯ ) とおく.以下の(1),(2),(3)を証明せよ.
(1) すべての n に対して, [a n] は n または n− 1 に等しい.
(2) c が有理数のときは, [a n]= n となる n が存在する.
(3) c が無理数のときは,すべての n に対して [ an] =n− 1 となる.
1997-10001-0107
【2】(1) p を正の定数とし,点 F (0 ,p) を焦点にもち, y=− p を準線とする放物線を C とする. C 上の点 Q ( x0 ,y0 ) (ただし x0 ≠0 ) を考え,点 Q と F を通る直線を l 1 ,点 Q を通り放物線 C の主軸に平行な直線を l 2 とする.このとき,点 Q における C の接線 l は, l 1 と l 2 のなす角を 2 等分することを示せ.
(2) 放物線 y =x2 −2 ⁢2 ⁢x+ 4 上の点 R (a, b) ( a> 2 ) における接線と直線 x =a のなす角を θ ( 0°< θ<90 °) とする.点 R を通り傾きが 1− tan2⁡ θ2 ⁢tan⁡ θ である直線は a によらない定点を通ることを示し,その定点の座標を求めよ.
1997-10001-0108
【3】 p を 0 でない実数とする.数列 a 1 , a2 , ⋯ をつぎのように定義する.
a1 =1 , an+ 1= p⁢a n+ p− n (n= 1 ,2 , ⋯ ).
(1) |p |= 1 のとき, an を求めよ.
(2) |p |≠ 1 のとき, an を求めよ.
(3) limn →∞ ⁡ an +1 an を求めよ.
1997-10001-0109
【4】 a を実数として,関数 f ⁡(x )= {x 2− (a+ 2)⁢ x+a+ 2} ⁢ex を考える.
(1) a≠0 のとき, f⁡( x) の極小値を b とする. b を a で表せ.
(2) (1)で求めた b を a の関数とみて, b=g ⁡(a ) と表す.ただし, a=0 のとき g ⁡(0 )=2 と定める.このとき,関数 b =g⁡( a) のグラフと a 軸で囲まれる図形の面積を求めよ.
1997-10001-0110
【5】 複素数 α , β (ただし,α ⁢β≠ 0 ) が与えられている. α= a+b⁢ i ,β =c+d ⁢i ( a ,b , c ,d は実数, i= −1 ) とおく.
(1) 複素数 z 0 を, α‾ +β ≠0 の場合は z 0= (b− d)+( a+c) ⁢i と定め, α ‾+ β=0 の場合は z0= −a+ b⁢i と定める. | α| =|β | のとき, z 0 は z の方程式 α ⁢z+ β⁢ z‾ =0 の解であって, z0 ≠0 となることを示せ.
(2) |α |≠ |β | のとき, z の方程式
α⁢z +β⁢ z‾ +1= 0⋯ ①
の解の実部と虚部を a , b , c ,d で表せ.
(3) |α |= |β | かつ方程式 ① がある複素数 z 1 を解にもつとする.このとき, ① は z 1 と異なる解をもつことを示せ.
meta注:(2)の ① は,資料が不鮮明のため α⁢ z+β⁢ z+1=0 と見えるが,上記のようになおした.鮮明な資料に当たって確認したい.
1997-10001-0111
【6】 3 個のさいころを同時に振る試行において,出た目の数の積が 4 で割り切れる事象を A とする.
(1) 事象 A が起こる確率 P( A) を求めよ.
(2) この試行を 4 回繰り返したとき,事象 A が 2 回以上起こる確率を求めよ.
(3) この試行を n 回繰り返したとき,事象 A が k 回起これば X =3k で確率変数 X を定義する.このとき, X の期待値 E ⁡(X ) を求めよ.