1997　北海道大学　前期MathJax

【１】　平面上に原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$r$の円$C$と点$\mathrm{A}(r,0)$がある．$y$軸に平行な直線$x=r$上に点$\mathrm{P}(r,t)$をとる．ただし，$t\ne 0$とする．

(1)　点$\mathrm{P}$を通り，円$C$と接する直線で直線$\mathrm{PA}$と異なるものを$l$とする．$l$と円$C$との接点を$\mathrm{T}$とするとき，点$\mathrm{T}$の座標を$r\text{，}t$を用いて表せ．

(2)　線分$\mathrm{AT}$と線分$\mathrm{OP}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{P}$が直線$x=r$の第$1$象限にある部分を動くとき，点$\mathrm{Q}$の軌跡を求めよ．

【２】　近似値${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771$を利用して次の問いに答えよ．

(1)　${18}^{35}$の桁数を求めよ．

(2)　${18}^{35}$の最高位の数字が$8$であることを示せ．

【３】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に，点$\mathrm{A}(a,0)$を中心とする半径$1$の円$C$がある．ただし，$a\geqq 0$とする．$C$と$x$軸との交点のうち右側にあるものを$\mathrm{B}$とする．$0°<\theta \leqq 45°$とし，第$1$象限内で，円$C$上に$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を$\angle \mathrm{PAB}=\theta \text{，}\angle \mathrm{QAB}=2\theta$となるようにとる．$\mathrm{P}$から$y$軸に下ろした垂線を$\mathrm{P}{\mathrm{P}}^{\prime }$とし，$\mathrm{Q}$から$x$軸に下ろした垂線を$\mathrm{Q}{\mathrm{Q}}^{\prime }$とする．$\mathrm{O}{\mathrm{P}}^{\prime }$と$\mathrm{O}{\mathrm{Q}}^{\prime }$を$2$辺とする長方形の面積$S$について考える．

(1)　$t=\sin \theta$とおくとき，$S$を$a$と$t$で表せ．

(2)　$\theta$が$0°<\theta \leqq 45°$の範囲を動くとき，$S$の最大値とそのときの$t$の値を$a$で表せ．

【４】　$0$でない複素数$z$に対し，$w=z^2-{\displaystyle \frac{1}{z^2}}$とおく．このとき，$w$の実部が正になるような$z$の範囲を複素数平面上に図示せよ．

【５】　原点を$\mathrm{O}$とする平面において，点$\mathrm{A}(0,2)$とベクトル$\overrightarrow{c}=(1,\mathrm{-2})$をとり，ベクトル方程式$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{c}$で表される直線を$l$とする．原点$\mathrm{O}$を発した光が，$l$上の点$\mathrm{Q}(a,b)$で$l$にあたって反射するとき，その反射光のなす半直線を$l^{\prime }$で表す．ただし，光は直進し，線分$\mathrm{OQ}$と$l$のなす角度は$l^{\prime }$と$l$のなす角度と等しくなるように反射するものとする．

(1)　直線$l$に関して$\mathrm{O}$と対称な点${\mathrm{O}}^{\prime }$の座標を求めよ．

(2)　半直線$l^{\prime }$を含む直線のベクトル方程式が$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}+t\overrightarrow{d}$となるようなベクトル$\overrightarrow{d}$を一つ求め，その成分を$a$を用いて表せ．

【１】　実数$x$に対して，$x$以下の整数のうちで最大のものを$\left[x\right]$と書くことにする．$c>1$として，$a_n={\displaystyle \frac{[na]}{c}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$とおく．以下の(1)，(2)，(3)を証明せよ．

(1)　すべての$n$に対して，$\left[a_n\right]$は$n$または$n-1$に等しい．

(2)　$c$が有理数のときは，$\left[a_n\right]=n$となる$n$が存在する．

(3)　$c$が無理数のときは，すべての$n$に対して$\left[a_n\right]=n-1$となる．

【２】(1)　$p$を正の定数とし，点$\mathrm{F}(0,p)$を焦点にもち，$y=-p$を準線とする放物線を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{Q}(x_0,y_0)\text{（ただし}{x}_0\ne 0\text{）}$を考え，点$\mathrm{Q}$と$\mathrm{F}$を通る直線を$l_1$，点$\mathrm{Q}$を通り放物線$C$の主軸に平行な直線を$l_2$とする．このとき，点$\mathrm{Q}$における$C$の接線$l$は，$l_1$と$l_2$のなす角を$2$等分することを示せ．

(2)　放物線$y=x^2-2\sqrt{2}x+4$上の点$\mathrm{R}(a,b)\text{（}a>\sqrt{2}\text{）}$における接線と直線$x=a$のなす角を$\theta \text{（}0°<\theta <90°\text{）}$とする．点$\mathrm{R}$を通り傾きが${\displaystyle \frac{1-{\tan }^2\theta }{2\tan \theta }}$である直線は$a$によらない定点を通ることを示し，その定点の座標を求めよ．

【３】　$p$を$0$でない実数とする．数列$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots$をつぎのように定義する．

$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}=p{a}_n+p^{-n}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$．

(1)　$|p|=1$のとき，$a_n$を求めよ．

(2)　$|p|\ne 1$のとき，$a_n$を求めよ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}$を求めよ．

【４】　$a$を実数として，関数$f(x)=\{x^2-(a+2)x+a+2\}{e}^x$を考える．

(1)　$a\ne 0$のとき，$f(x)$の極小値を$b$とする．$b$を$a$で表せ．

(2)　(1)で求めた$b$を $a$の関数とみて，$b=g(a)$と表す．ただし，$a=0$のとき$g(0)=2$と定める．このとき，関数$b=g(a)$のグラフと$a$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．

【５】　複素数$\alpha \text{，}\beta \text{（ただし，}\alpha \beta \ne 0\text{）}$が与えられている．$\alpha =a+bi\text{，}\beta =c+di\text{（}a\text{，}b\text{，}c\text{，}d\text{は実数，}i=\sqrt{\mathrm{-1}}\text{）}$とおく．

(1)　複素数$z_0$を，$\bar{\alpha }+\beta \ne 0$の場合は$z_0=(b-d)+(a+c)i$と定め，$\bar{\alpha }+\beta =0$の場合は$z_0=-a+bi$と定める．$|\alpha |=|\beta |$のとき，$z_0$は$z$の方程式$\alpha z+\beta \bar{z}=0$の解であって，$z_0\ne 0$となることを示せ．

(2)　$|\alpha |\ne |\beta |$のとき，$z$の方程式

$\alpha z+\beta \bar{z}+1=0\cdots \text{①}$

の解の実部と虚部を$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$で表せ．

(3)　$|\alpha |=|\beta |$かつ方程式$\text{①}$がある複素数$z_1$を解にもつとする．このとき，$\text{①}$は$z_1$と異なる解をもつことを示せ．

meta注：(2)の$\text{①}$は，資料が不鮮明のため$\alpha z+\beta z+1=0$と見えるが，上記のようになおした．鮮明な資料に当たって確認したい．

【６】　$3$個のさいころを同時に振る試行において，出た目の数の積が$4$で割り切れる事象を$A$とする．

(1)　事象$A$が起こる確率$P\left(A\right)$を求めよ．

(2)　この試行を$4$回繰り返したとき，事象$A$が$2$回以上起こる確率を求めよ．

(3)　この試行を$n$回繰り返したとき，事象$A$が$k$回起これば$X=3^k$で確率変数$X$を定義する．このとき，$X$の期待値$E\left(X\right)$を求めよ．