1997　東北大学　前期

【１】　$2$次方程式$x^2+ax+b=0$が$2$つの解を持ち，かつその差が$1$であるとする．

(1)　$b$を$a$で表せ．

(2)　$2$次関数$y=x^2+ax+b$のグラフが，領域$2x+y<0$を通らないような$a$の範囲を求めよ．

【２】(1)　等式${(1+\sin \theta +\cos \theta )}^2=2(1+\sin \theta )(1+\cos \theta )$が成り立つことを証明せよ．

(2)　$\theta$の関数$(1+\sin \theta )(1+\cos \theta )$の$0°\leqq \theta <360°$の範囲での最大値および最小値を求めよ．

【３】(1)　直線$y=x-1$は，$2$つの$2$次曲線$y=x(x-1)\text{，}y=x^2-3x+3$に接することを示せ．

(2)　直線$y=x-1$と，$2$つの$2$次曲線$y=x(x-1)\text{，}y=x^2-3x+3$により囲まれる部分の面積を求めよ．

【４】　$1$個のサイコロを$n$回投げて，$5$以上の目が少なくとも$1$回出る確率を$0.9995$以上にするための$n$の最小値を求めよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771$とする．

【５】(1)　$2$次方程式$x^2+ax+b=0$が相異なる$2$つの解$\alpha \text{，}\beta$をもつとき，定数$p\text{，}q$に対し，

$x_0=p+q\text{，}{x}_n=p{\alpha }^n+q{\beta }^n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

とおく．このとき次の等式が成り立つことを示せ．

$x_{n+2}+a{x}_{n+1}+b{x}_n=0\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

(2)　$x_0=2\text{，}{x}_1=3\text{，}{x}_{n+2}=x_{n+1}+x_n\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$で与えられる数列の一般項は

$x_n={\displaystyle \frac{2+\sqrt{5}}{\sqrt{5}}}{\left({\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}\right)}^n+{\displaystyle \frac{-2+\sqrt{5}}{\sqrt{5}}}{\left({\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{2}}\right)}^n$

で与えられることを示せ．

【１】　空間の$2$定点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(-1,1,1)$に対し，点$\mathrm{P}(x,y,z)$は次の$2$条件(ⅰ)，(ⅱ)を満たしながら動くとする．

(ⅰ)　点$\mathrm{P}$は，方程式$y=2x$で与えられる平面上にある．

(ⅱ)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$は垂直である．

このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$の長さの最小値と，その最小値を与える$\mathrm{P}$の座標$(x,y,z)$を求めよ．

【２】　$1$個のさいころを振って，出た目の$2$乗を得点とする．この試行を$3$回行ったとき，得点の合計が$80$点以上になる確率を求めよ．

【３】(1)　$\log x$を$x$の自然対数とする．このとき，関数

$f(x)={\displaystyle \frac{\log x}{x}}\text{（}x>0\text{）}$

の極値，および$y=f(x)$のグラフと$x$軸との交点を求め，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．

(2)　$a$を正の数とする．不等式$a^x\geqq x^a$が，$x\geqq a$である任意の$x$に対して成り立つような，$a$の範囲を求めよ．

【４】　$a$を定数とし，$2$次曲線$y={(x-a)}^2-4$の$x\geqq a$を満たす部分を$E$とする．$4$点$\mathrm{A}(0,0)\text{，}\mathrm{B}(4,0)\text{，}\mathrm{C}(4,4)\text{，}\mathrm{D}(0,4)$を頂点とする正方形の面積を，$E$が$2$等分するとき，$a$の値を求めよ．

【５】　$xy$平面上の$2$つの曲線

$y=x^2+1\text{，}y=\left|{\displaystyle \frac{(x+1)(x-a)}{2}}\right|$

が共有点をもたないとき，実数$a$の存在する範囲を求めよ．

【６】　関数$f(x)=x^3\sqrt{1-x^2}\text{（}|x|\leqq 1\text{）}$を考える．

(1)　$f(x)$の最大値と最小値を求め，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．

(2)　$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

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