1997　埼玉大学　前期(経済,教育学部)MathJax

【１】

　平面上の$2$点${\mathrm{P}}_1(x_1,y_1)\text{，}{\mathrm{P}}_2(x_2,y_2)$に対して，

$d({\mathrm{P}}_1,{\mathrm{P}}_2)=\{\begin{array}{ll}|y_1-y_2|& \text{（}{x}_1=x_2\text{のとき）}\\ |x_1-x_2|+|y_1|+|y_2|& \text{（}{x}_1\ne x_2\text{のとき）}\end{array}$

とおく．このとき，

(1)　${\mathrm{P}}_1=(1,-2)\text{，}{\mathrm{P}}_2=(2,3)$のとき，$d({\mathrm{P}}_1,{\mathrm{P}}_2)$を求めよ．

(2)　$\mathrm{P}=(1,2)$に対して，$d(\mathrm{P},\mathrm{Q})=3$となる点$\mathrm{Q}$全体の集合を図示せよ．

【２】　$2$つの関数$f(x)=2x^2+ax+b$と$g(x)=2ax+1$が与えられている（$a\text{，}b$は実数とする）．

この関数の曲線$y=f(x)\cdots \text{①}$と直線$y=g(x)\cdots \text{②}$が接しているとき，

(1)　$b$を$a$の式で表せ．

(2)　$a$が$0\leqq a\leqq 6$の範囲で動くとき，$\text{①}$と$\text{②}$の接点が描く曲線を式で表し，その概形を図示せよ．

(3)　次の条件を満たすように$a$の値を定めよ（但し，$a\geqq 0$）．

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{a}{4}}}\{f(x)-g(x)\}dx={\displaystyle \frac{9}{4}}$

【３】　三角形$\mathrm{ABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおき，さらに$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$の内積を$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=m\text{，}\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$の大きさをそれぞれ$\left|\overrightarrow{b}\right|=b\text{，}$$\left|\overrightarrow{c}\right|=c$とおく．

(1)　直線$\mathrm{AB}$に関して，点$\mathrm{C}$と対称な点を$\mathrm{D}$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$をベクトル$\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$と実数$m\text{，}b\text{，}c$を用いて表せ．

(2)　直線$\mathrm{AC}$に関して，点$\mathrm{B}$と対称な点を$\mathrm{E}$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$をベクトル$\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$と実数$m\text{，}b\text{，}c$を用いて表せ．

(3)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$が平行なとき，三角形$\mathrm{ABC}$はどのような三角形か．

　問題【３】はベクトルの形で出題されているが，複素数あるいは平面幾何の形に直して解いてもよい．その場合は，解答用紙に「問題をどのように書き直したのか」も書く事（書き直しも採点の対象とする）．

【４】　男女$6$名ずつ$12$名のサークルで，$4$名の委員をくじで選ぶことになった．このとき，

(1)　男女同数となる選び方は何通りか．

(2)　女子が少なくとも$1$人選ばれる確率を求めよ．

(3)　男子の方が多く選ばれる確率を求めよ．

(4)　委員のなかに，会長，副会長をおくことにする．会長，副会長は男女$1$名ずつが選ばれ（会長は男女どちらでもよい），残りの委員も男女同数になる確率を求めよ．

【５】　実数$a\text{，}b$について，$\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$と表される行列を$M$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　適当な実数$r$と，適当な角度$\theta$を用いて，$M=r\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$と表されることを示せ．また，そのときの$r$の値を$a\text{，}b$で表せ．

(2)　$a>0\text{，}b>0$のとき，$M^8=\left(\begin{array}{cc}16& 0\\ 0& 16\end{array}\right)$となる$M$を求めよ．