1997　埼玉大学　後期(理,工学部)MathJax

【１】　$xy$平面で媒介変数$t$を用いた曲線

$\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}{t}^2-1\\ y=t^3-t\end{array}$

を，$-1<t<1$の範囲で考える．

(1)　接線の傾きが$0$となる曲線上の$2$点の座標$(x,y)$を求めよ．

(2)　(1)で求めた$2$点の間の曲線に沿った道のりを求めよ．

【２】　一般項が$a_k={\displaystyle \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}}$である数列$\{a_k\}$について，次の問いに答えよ．

(1)　$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}{a}_4$を求めよ．

(2)　$a_k$が偶数であるような$k$の条件を求めよ．

(3)　偶数となるような$a_k$のうち，最初から$2n$項の和を$S(n)$とするとき，$S(n)$を$n$の式で表せ．ただし，${\displaystyle \sum _{k=1}^m}{k}^3={\left\{{\displaystyle \frac{m(m+1)}{2}}\right\}}^2$を用いてよい．

【３】　放物線$C:y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$が与えられている．

(1)　$2$点$\mathrm{A}(1,a)\text{，}\mathrm{B}(-1,b)$に関して，放物線$C$上の点$\mathrm{P}$で，${\overline{\mathrm{AP}}}^2+{\overline{\mathrm{BP}}}^2$を最小にする点とそのときの最小値$S(a,b)$を求めよ．

(2)　$a\text{，}b$が関係式$a=-b^2+2$をみたして動くとき，$S(a,b)$の最小値を求めよ．

【４】　$27$枚のカードがある．$9$枚ずつが赤・黄・緑色になっていて，各々の色のカードには，$1$から$9$までの数字が重複なく書かれている．

　自分と相手の二人に$3$枚ずつカードを配る．※自分と相手合わせて二人である

A.　$3$枚のカードが同じ色であり，かつ書かれた数字が連続した整数である場合，純ストレートと呼ぶ．

B.　$3$枚のカードが同じ数字である場合，スリーカードと呼ぶ．

　このとき，次の問に答えよ．

(1)　自分にスリーカードがくる確率を求めよ．

(2)　自分に純ストレートがくる確率を求めよ．

(3)　自分のカードが純ストレートであるとき，相手のカードも純ストレートである確率を求めよ．

【５】　空間内の相異なる$4$点$\mathrm{O}(0,0,1)$（原点），$\mathrm{A}(p,q,r)\text{，}\mathrm{B}(q,r,p)\text{，}\mathrm{C}(r,p,q)$を考える．ただし，$p\text{，}q\text{，}r$は$p+q+r=1$をみたす実数とする．

(1)　$▵\mathrm{ABC}$は正三角形であることを示せ．

(2)　$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$が正四面体の頂点となるとき，正四面体$\mathrm{OABC}$の一辺の長さを求めよ．

(3)　(2)における正四面体$\mathrm{OABC}$の頂点$\mathrm{A}$が$({\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{1}{3}})$と$(1,0,0)$を結ぶ線分上にあるとき，$p\text{，}q\text{，}r$を求めよ．