1997　千葉大学　前期MathJax

【１】　$\angle B=2\theta \text{，}\angle C=\theta$である三角形$\mathrm{ABC}$がある．

(1)　$\sin \theta$の値の範囲を求めよ．

(2)　$\sin \theta ={\displaystyle \frac{1}{3}}$のとき，$\sin 3\theta$の値を求めよ．

(3)　${\displaystyle \frac{3\mathrm{CA}+2\mathrm{AB}-\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}}$の値が最大となるとき，$\sin \theta$の値を求めよ．

【２】

$F(a)={\displaystyle {\int }_0^a}|x+a-2|dx({\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq a\leqq 2)$

とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$F(1)$を求めよ．

(2)　$F(a)$を求めよ．

(3)　$F(a)$の最小値を求めよ．

【３】　関数$f(x)=x^3-3x$がある．曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(a,f(a))\text{，}\text{（}a>0\text{）}$における接線を$l\text{，}l$と$y=f(x)$との交点の$x$座標を$b$とする．

(1)　接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　$t$を$b<t<a$をみたす実数とする．直線$x=t$と，$y=f(x)$および$l$との交点を，それぞれ$\mathrm{Q}$および$\mathrm{R}$とする．線分$\mathrm{QR}$の長さが最大になるような$t$の値を求めよ．

(3)　(2)のとき，線分$\mathrm{QR}\text{，}$線分$\mathrm{RP}$および曲線$y=f(x)$によって囲まれる部分の面積$S$を求めよ．

【４】　$2$つの関数を

$\begin{array}{cc}y=|x|& \cdots \text{①}\\ y=a{x}^2+b& \cdots \text{②}\end{array}$

とする．ここで$a\text{，}b$は定数である．

(1)　$\text{①}\text{，}\text{②}$のグラフが異なる$4$点で交わるための条件を，$a\text{，}b$を用いて表せ．

(2)　(1)のとき，$\text{①}\text{，}\text{②}$のグラフが囲む$3$つの部分の面積を，左から順に$S_1\text{，}{S}_2\text{，}{S}_3$とするとき，$S_1+S_3=S_2$が成り立つための条件を，$a\text{，}b$を用いて表せ．

【５】　次のような数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$がある．

$a_n=1-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}+\cdots +{(-1)}^{n-1}{\displaystyle \frac{1}{n}}$

$b_n={\displaystyle \frac{1}{2n+\mathrm{１}}}+{\displaystyle \frac{1}{2n+2}}+\cdots {\displaystyle \frac{1}{4n}}$

(1)　$a_{4n}=b_n$を示せ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$の値を求めよ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$の値を求めよ．

【６】　$xy$平面上を速さ$1$で自由に動くことのできる点$\mathrm{P}$があって，直線$y=\sqrt{3}x$上を動くときのみ速さ$2$で動くことができる．このとき，動点$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$を出発して，点$\mathrm{A}(2,\sqrt{3})$にいたるまでの最小時間を求めよ．

【７】　変数$\theta$が$0$から$\pi$まで変化するとき，次の媒介変数表示で与えられる図形を$C$とする．ただし$a$は正の定数とする．

$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$のとき

$x=a\sin {\displaystyle \frac{3\theta }{2}}\text{，}y=2a\cdots \text{①}$

${\displaystyle \frac{\pi }{3}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$のとき

$\begin{array}{l}x=a({\sin }^2{\displaystyle \frac{3\theta }{2}}-{\cos }^2{\displaystyle \frac{3\theta }{2}})\\ y=2a(1-4{\sin }^2{\displaystyle \frac{3\theta }{2}}{\cos }^2{\displaystyle \frac{3\theta }{2}})\end{array}\}\cdots \text{②}$

${\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\leqq \theta \leqq \pi$のとき

$x=a\cos {\displaystyle \frac{3\theta }{2}}\text{，}y=2a\cdots \text{③}$

(1)　$C$はどんな図形を表すか．$xy$平面上に図示せよ．

(2)　点$(0,1)$を中心とする円が，$\text{①}\text{，}\text{②}\text{，}\text{③}$の表す図形のすべてと接するとき，$a$の値とこの円の半径を求めよ．

【８】　不等式$a\leqq x\leqq y\leqq a+1$によって表される$xy$平面上の領域を$D$とする．

(1)　$a=1$のとき，$D$を図示せよ．

(2)　不等式$y\leqq 2-x^2$の表す領域を$E$とする．このとき$D⫅E$が成り立つための$a$の値の最大値および最小値を求めよ．

【９】　原点$\mathrm{O}$から出発して，数直線上を動く点$\mathrm{P}$がある．点$\mathrm{P}$は，硬貨を投げて表が出たら$+3$だけ移動し，裏が出たら$+2$だけ移動する．硬貨をつぎつぎと投げていき，$\mathrm{P}$の座標がはじめて$11$以上になったときまでに投げた回数を$X$とする．

(2)　$X=4$となる確率を求めよ．

(3)　$X$の期待値$E[X]$を求めよ．

【10】　$a$を正の定数とする．サイクロイド

$x=a(\theta -\sin \theta )\text{，}y=a(1-\cos \theta )\text{（}0\leqq \theta \leqq 2\pi \text{）}$

上に点$\mathrm{P}$をとったとき，$\mathrm{P}$における接線が$x$軸となす角が${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$であったとする．原点を$\mathrm{O}$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　接点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(2)　サイクロイド上の弧$\stackrel{⏜}{\mathrm{OP}}$の長さを求めよ．

(3)　接点$\mathrm{P}$から$x$軸におろした垂線$\mathrm{PH}$と，$x$軸および弧$\stackrel{⏜}{\mathrm{OP}}$によって囲まれる部分の面積$S$を求めよ．

【11】

$I(a)={\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{\displaystyle \frac{a\sin \theta }{{(a^2-2a\cos \theta +1)}^{\frac{3}{2}}}}d\theta \text{（}a>1\text{）}$

とする．

(1)　$I(a)$を求めよ．

(2)　${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }}I(n)$の値を求めよ．

【12】　ひし形$\mathrm{ABCD}$において，対角線$\mathrm{AC}$の長さを$3\text{，}\angle \mathrm{DAC}=30\mathrm{°}$とする．このひし形の内部にあり，中心を線分$\mathrm{AC}$上にもつ円$K_0\text{，}{K}_1\text{，}{K}_2\text{，}\cdots$が次の条件をみたすとする．

(ⅰ)　円$K_1$は辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AD}$に接する．

(ⅱ)　円$K_1$は辺$\mathrm{CB}\text{，}\mathrm{CD}$に接し，$K_0$と外接する．

(ⅲ)　一般に円$K_n$は辺$\mathrm{CB}\text{，}\mathrm{CD}$に接し，$K_{n-1}$に外接する（$n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots$）．

(ⅳ)　円$K_n$の中心を${\mathrm{O}}_n$と書くとき，$\mathrm{C}{\mathrm{O}}_n>\mathrm{C}{\mathrm{O}}_{n+1}$とする（$n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots$）．

　円$K_n$の半径を$r_n\text{，}$面積を$S_n\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$r_0\text{，}{r}_1$の間に成り立つ関係式と，$r_0$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　$n\geqq 1$のとき，$S_{n+1}$と$S_n$との間に成り立つ関係式を求めよ．

(3)　${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }}{S}_n$を最小にする$r_0$の値を求めよ．

【13ア】　次のような数列がある．

${\displaystyle \frac{2^2-1^2}{1^2}}\text{，}{\displaystyle \frac{3^2-2^2}{2^2+1^2}}\text{，}{\displaystyle \frac{4^2-3^2}{3^2+2^2+1^2}}\text{，}{\displaystyle \frac{5^2-4^2}{4^2+3^2+2^2+1^2}}\text{，}\cdots$

(1)　第$100$項の値を求めよ．

(2)　初項から第$N$項までの和が，はじめて$5.94$を超えるとき，$N$の値を求めよ．

【13イ】　右の流れ図に対応するプログラムについて，以下の問いに答えよ．

(1)　$k$回目に$\mathrm{A}$点にきたときの$i\text{，}x\text{，}s$の値を，$k$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{B}$点に到達したときの$i$の値を，$n$を用いて表せ．ただし$n\geqq 0$とする．

【14ア】　$▵\mathrm{ABC}$で，$\overrightarrow{\mathrm{CA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=a\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=b\text{，}\overrightarrow{\mathrm{BC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}}=c$とする．ただし$\overrightarrow{\mathrm{CA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}$は$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$の内積を表すものとする．

(1)(ⅰ)　$a=0$ならば，$▵\mathrm{ABC}$はどんな三角形か．

(ⅱ)　$b=c$ならば，$▵\mathrm{ABC}$はどんな三角形か．

(2)(ⅰ)　$a+b=-{\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|}^2$を示せ．

(ⅱ)　$▵\mathrm{ABC}$の面積を，$a\text{，}b\text{，}c$を用いて表せ．

【14イ】　配列（添字付き変数）$a$において，$a[1]\text{，}a[2]\text{，}\cdots \text{，}a[n]$には，値$1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n$がそれぞれちょうど$1$つずつ入っている．このとき右の流れ図に対応するプログラムについて，以下の問いに答えよ．

(1)　$n=4$とし，$\mathrm{A}$点においては$a[0]=0\text{，}a[1]=3\text{，}a[2]=1\text{，}a[3]=4\text{，}a[4]=2$であったとする．このプログラムの実行開始から終了までの，$\mathrm{B}$点における$i$の値と$a[k]$の値（$k=0\text{，}1\text{，}2\text{，}3\text{，}4$）の変化を示す表を作成せよ．

(2)　$\mathrm{C}$点の判定$a[i]\leqq a[i+1]$の回数は，$a[k]\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$の初期値により異なる．この判定回数が最も少ない場合と，最も多い場合について，それぞれの判定回数を$n$を用いて表せ．またそのような$a[k]\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$の初期値の例をそれぞれ示せ．

【14ウ】　$1$つのサイコロを$3$回投げるとき，$1$回目，$2$回目，$3$回目に出る目の数を表す確率変数を，それぞれ$X\text{，}Y\text{，}Z$とする．

(1)　$|X-Y|$の期待値を求めよ．

(2)　$X\geqq Y\geqq Z$となる確率を求めよ．

(3)　$X\geqq Y$かつ$Y<Z$となる確率を求めよ．

【15ア】　四面体$\mathrm{OABC}$において，$▵\mathrm{OAB}\text{，}▵\mathrm{OBC}\text{，}▵\mathrm{OCA}$はいずれも$\angle O$を直角とする二等辺三角形で，$\mathrm{OA}=1$とする．点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{AB}$上を動くとき，点$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$は$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=\mathrm{PQ}:\mathrm{QC}=\mathrm{CR}:\mathrm{RA}$をみたしながら，それぞれ$\mathrm{PC}$上，$\mathrm{CA}$上を動くとする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}\text{，}\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=t:1-t$と書くとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=u\overrightarrow{a}+v\overrightarrow{b}+w\overrightarrow{c}$と書くとき，$u\text{，}v\text{，}w$を$t$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$の内積を，$t$を用いて表せ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$の内積の最大値を求めよ．

【15イ】　関数$f(x)=4-x^2$の定積分の値$S={\displaystyle {\int }_0^1}f(x)dx$を求めるための近似計算を考える．$2$以上の整数$n$に対して，

$A_n={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}}f\left({\displaystyle \frac{i}{n}}\right)\text{，}{B}_n={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{i=1}^n}f\left({\displaystyle \frac{i}{n}}\right)\text{，}$

$T_n={\displaystyle \frac{A_n+B_n}{2}}$

とおき，$T_n$を$S$の近似値とする．また$T_n$の誤差の絶対値を$E_n$とする．

(1)　$T_n$を計算する流れ図を作成せよ．

(2)　$E_n$を$n$を用いて表せ．

(3)　$E_n$の値の小数第$5$桁目を切りすてた値を$e_n$とするとき，$e_{10}\text{，}{e}_{20}\text{，}{e}_{40}$の値を求めよ．

(4)　一般項が$a_n=a{n}^k$（$a\text{，}k$は定数で$n\geqq 2$）で与えられる数列が，$a_{10}=e_{10}\text{，}{a}_{20}=e_{20}$をみたすとき，$a$および$k$の値を求めよ．ただし，$e_{10}\text{，}{e}_{20}$は，(3)で求めた値である．

(5)　(4)で求めた$a_n$の値を${10}^{-6}$以下にするための$n$の最小値を求めよ．

【15ウ】　袋の中に，$1$から$n$までの整数がそれぞれ$1$つずつ書かれた$n$個の玉がはいっている（$n\geqq 2$）．この袋から玉を$1$つずつとり出す実験を$3$回行う．ただし$1$回の実験が終わるたびに，玉を袋にもどすものとする．$1$回目，$2$回目，$3$回目にとり出された玉に書かれている数字を表す確率変数を，それぞれ$X\text{，}Y\text{，}Z$とする．

(1)　$|X-Y|$の期待値を求めよ．

(2)　$X\geqq Y\geqq Z$となる確率を求めよ．

(3)　$X\geqq Y\geqq Z$となる確率と，$X\geqq Y$かつ$Y<Z$となる確率が等しくなる$n$の値を求めよ．

【16a】　原点$\mathrm{O}$から出発して，数直線上を動く点$\mathrm{P}$がある．点$\mathrm{P}$は，硬貨を投げて表が出たら$+3$だけ移動し，裏が出たら$+2$だけ移動する．硬貨を$5$回投げるとき，以下の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$の座標が$11$である確率を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$の座標が$12$以上である確率を求めよ．

(3)　点$\mathrm{P}$の座標の期待値を求めよ．

【16b】　空間内に

平面$\alpha :{\displaystyle \frac{x}{2}}+y+z=a$

および

球面$S:x^2+y^2+z^2=b^2$

があって，$\alpha$と$S$は円$C$で交わる．ただし$a\text{，}b$は定数で，$b>0$とする．

(1)　$a\text{，}b$のみたす関係式を求めよ．

(2)　円$C$の中心の座標を$a$で表せ．

(3)　$a\text{，}b$が整数で，円$C$の面積が${\displaystyle \frac{5}{9}}\pi$のとき，$a\text{，}b$の値を求めよ．

【17a】　複素数平面上の異なる$2$点$z_1\text{，}{z}_2$に対して，$z=a{z}_1+b{z}_2$を考える．ただし$a\geqq 0\text{，}b\geqq 0$とする．

(1)　$a+b=1$とし，$|z_1|=2\sqrt{3}\text{，}|z_2|=\sqrt{6}\text{，}\arg {\displaystyle \frac{z_1}{z_2}}=45\mathrm{°}$とする．このとき点$z$が動いてできる図形の長さ$l$を求めよ．

(2)　$z_1\text{，}{z}_2$が(1)の条件をみたすとする．$2\leqq a+b\leqq 3$のとき，点$z$が動いてできる図形の面積$S$を求めよ．

(3)　$z_1\text{，}{z}_2$は$z_1=-2+2i\text{，}|z_2-2i|=1$をみたすとする．$a+b=1$のとき，複素数$z$の偏角の最大値および最小値を求めよ．

【17b】　$1$次変換

$f:\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ m& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

と，直線

$l:y=ax+b$

がある．$f$によって$l$上の点はまた$l$上の点に移るとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$m$の値が最小になるとき，$a\text{，}b$の値を求めよ．

(2)　$a\text{，}b\text{，}m$が整数であり，$f$によって直線$l$上のすべての$2$点間の距離が変わらないとき，$a\text{，}b\text{，}m$の値を求めよ．

【18a】　$2$つの，実数を係数とする$x$の二次方程式

$x^2+ax+a+3=0\cdots \text{①}$

$x^2+(b+3)x-b=0\cdots \text{②}$

の$4$つの解が，複素数平面上で平行四辺形の$4$頂点となるための条件を考える．

(1)　$\text{①}\text{，}\text{②}$の一方が実数解をもち，他方が実数解をもたない場合に，平行四辺形をなすための$a\text{，}b$がみたすべき条件を求め，それを$ab$平面上に図示せよ．

(2)　$\text{①}\text{，}\text{②}$がともに実数解をもたない場合に，平行四辺形をなすための$a\text{，}b$がみたすべき条件を求め，それを$ab$平面上に図示せよ．

【18b】　空間内に$3$点$\mathrm{A}(1,1,1)\text{，}\mathrm{B}(1,-1,1)\text{，}\mathrm{C}(0,0,1)$をとり，直線$l$を

$l:{\displaystyle \frac{x-3}{a}}={\displaystyle \frac{y-2}{b}}=z-2$

とする．直線$l$が三角形$\mathrm{ABC}$の内部または周と共有点をもつとき，点$(a,b)$の存在範囲を$ab$平面上に図示せよ．

志望別問題選択一覧

数学I，II，A

　教育学部　小学校教員養成課程，中学校教員養成課程，理科・家庭科専攻，養護学校教員養成課程，幼稚園教員養成課程　【１】，【２】必須，【13ア】，【13イ】から１題選択，【16a】，【16b】から１題選択

数学I，II，A，B

　文学部　行動科学科，教育学部　中学校教員養成課程，技術科専攻，法経学部　【２】，【３】必須，【14ア】，【14イ】から１題選択，【16a】，【16b】から１題選択

　工学部A，B　建築学科，園芸学部　【１】，【４】必須，【14ア】，【14イ】，【14ウ】から１題選択，【17a】，【17b】から１題選択

数学I，II，III，A，B，C

　理学部　生物学科，地球科学科，工学部Bコース　機械工学科，情報工学科，電気電子工学科

　　【１】，【３】，【５】必須，【15ア】，【15イ】，【15ウ】から１題選択，【17a】，【17b】から１題選択

　理学部　物理学科，化学科，医学部，薬学部，工学部Aコース　工業意匠学科，機械工学科，情報工学科，電気電子工学科，応用化学科，機能材料工学科，画像工学科

　　【５】，【６】，【７】必須，【15ア】，【15イ】，【15ウ】から１題選択，【18a】，【18b】から１題選択

　教育学部・中学教員養成課程　数学科専攻　【５】，【８】，【９】，【10】必須，【15ア】，【15イ】，【15ウ】から１題選択，【17a】，【17b】から１題選択

　理学部　数学・情報数理学科

　　【６】，【７】，【11】，【12】必須，【15ア】，【15イ】，【15ウ】から１題選択，【18a】，【18b】から１題選択