1997　東京大学　前期MathJax

【１】　$a\text{，}b$は実数で

$a^2+b^2=16\text{，}{a}^3+b^3=44$

をみたしている．このとき，

(1)　$a+b$の値を求めよ．

(2)　$n$を$2$以上の整数とするとき，$a^n+b^n$は$4$で割り切れる整数であることを示せ．

【２】　$a\text{，}b$を正の数とし，$xy$平面の$2$点$\mathrm{A}(a,0)$および$\mathrm{B}(0,b)$を頂点とする正$3$角形を$\mathrm{ABC}$とする．ただし，$\mathrm{C}$は第$1$象限の点とする．

(1)　$3$角形$\mathrm{ABC}$が正方形$D=\{(x,y)|0\leqq x\leqq 1,0\leqq y\leqq 1\}$に含まれるような$(a,b)$の範囲を求めよ．

(2)　$(a,b)$が(1)の範囲を動くとき，$3$角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$が最大となるような$(a,b)$を求めよ．また，そのときの$S$の値を求めよ．

【３】　$r$を正の数とする．$xyz$空間に原点$\mathrm{O}(0,0,0)$と$3$点$\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,1,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,1)$をとる．$xyz$空間の点$\mathrm{P}$で

$\left|\overrightarrow{\mathrm{PA}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{PB}}\right|=r\left|\overrightarrow{\mathrm{PO}}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{PC}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{PO}}\right|$

をみたすものが$2$つ存在するための$r$の条件を求めよ．さらに，この$2$点の座標を$r$を用いて表せ．

【４】　$0\leqq t\leqq 1$をみたす実数$t$に対して，$xy$平面上の点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を

$\mathrm{A}({\displaystyle \frac{2(t^2+t+1)}{3(t+1)}},-2)\text{，}\mathrm{B}({\displaystyle \frac{2}{3}}t,-2t)$

と定める．$t$が$0\leqq t\leqq 1$を動くとき，直線$\mathrm{AB}$の通りうる範囲を図示せよ．

【２】　$n$を正の整数，$a$を実数とする．すべての整数$m$に対して

$m^2-(a-1)m+{\displaystyle \frac{n^2}{2n+1}}a>0$

が成り立つような$a$の範囲を$n$を用いて表せ．

【３】　$r$は$0<r<1$をみたす実数とする．$xyz$空間に原点$\mathrm{O}(0,0,0)$と$2$点$\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,1,0)$をとる．

(1)　$xyz$空間の点$\mathrm{P}$で条件

$\left|\overrightarrow{\mathrm{PA}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{PB}}\right|=r\left|\overrightarrow{\mathrm{PO}}\right|$

をみたすものが存在するような$r$の範囲を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$が(1)の条件をみたして動くとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$の最大値，最小値を$r$の関数と考えてそれぞれ$M(r)\text{，}m(r)$で表す．このとき，左からの極限

$\underset{r\to 1-0}{\lim }{(1-r)}^2\{M(r)-m(r)\}$

を求めよ．

【４】　正$3$角形$\mathrm{ABC}$の頂点から辺$\mathrm{AB}$とのなす角が$\theta$の方向に，$3$角形の内部に向かって出発した光線を考える．ただし$0<\theta <60°$とする．この光線は$3$角形の各辺で入射角と反射角が等しくなるように反射し，頂点に到達するとそこでとまるものとする．また，$3$角形の内部では光線は直進するものとする．

(1)　$\tan \theta ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}$のとき，この光線はどの頂点に到達するかを述べよ．

(2)　正の整数$k$を用いて$\tan \theta ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6k+2}}$と表せるとき，この光線の到達する頂点を求め，またそこへ至るまでの反射の回数を$k$を用いて表せ．

【５】　$a$を$0<a<{\displaystyle \frac{1}{4}}$をみたす実数とする．$xy$平面で，不等式

$y^2\leqq x^2(1-x^2)-a$

の表す領域を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

【６】　$a$を実数とする．

(1)　曲線$y={\displaystyle \frac{8}{27}}{x}^3$と放物線$y={(x+a)}^2$の両方に接する直線が$x$軸以外に$2$本あるような$a$の範囲を求めよ．

(2)　$a$が(1)の範囲にあるとき，この$2$本の接線と放物線$y={(x+a)}^2$で囲まれた部分の面積$S$を$a$を用いて表せ．