1997　東京工業大学　前期MathJax

【１】　$a^2{x}^2+b^2{y}^2\leqq 1$をみたす$(x,y)$がすべて

$a(x-1)+b(y-1)\leqq 0$

をみたすような$(a,b)$の範囲を求め，図示せよ．

【２】(1)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=n}^{2n}}{\displaystyle \frac{1}{k}}$を求めよ．

(2)　任意の正数$a$に対して

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=n}^{2n}}{\displaystyle \frac{1}{a+k}}$

は(1)と同じ極限値をもつことを証明せよ．

【３】(1)　${\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$をみたす自然数$x\text{，}y$の組$(x,y)$をすべて求めよ．

(2)　$n$を自然数，$r$を正の有理数とする．このとき

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{x_k}}=r$

をみたす自然数$x_k$の組$(x_1,\cdots ,x_n)$の個数は有限であることを示せ．

【４】(1)　底辺の長さが$l\text{，}2$つの底角が$\alpha \text{，}\beta$の三角形の面積$S$は，次式で与えられていることを示せ．

$S={\displaystyle \frac{l^2}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{\cos (\alpha -\beta )-\cos (\alpha +\beta )}{\sin (\alpha +\beta )}}$

(2)　各辺の長さが$1\text{，}2\text{，}\sqrt{3}$の三角形の各辺に$1$点ずつ頂点をもつ正三角形の面積の最小値を求めよ．