1997　一橋大学　前期MathJax

【１】　すべての正の整数$n$に対して$5^n+an+b$が$16$の倍数となるような$16$以下の正の整数$a\text{，}b$を求めよ．

【２】　原点を中心とする半径$r$の円と放物線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+1$との両方に接する直線のうちに，たがいに直交するものがある．$r$の値を求めよ．

【３】　平面上に放物線$y=x^2-5x+6$と直線$y=kax-a^2-5a$がある．

(1)　すべての実数$a$に対して放物線と直線が異なる$2$点で交わるような定数$k$の範囲を求めよ．

(2)　(1)で求めた範囲にあって，放物線と直線で囲まれる部分の面積が$a$によらず一定になるような定数$k$を求めよ．

【４】　白球$15$個と赤球$4$個が箱に入っている．この箱から球を$1$個取り出す操作を繰り返す．ただし，取り出した球はもとに戻さない．

　$n$回めに取り出した球が$3$個めの赤球である確率を$p_n$とする．

　$p_n$が最大となる$n$を求めよ．

【５-１】　複素数平面上に$0$と異なる$3$点$z_1\text{，}{z}_2\text{，}{z}_3$があり，条件(ア)，(イ)，(ウ)をみたしている．

(ア)　$\arg z_1=\arg z_2+120\mathrm{°}$

(イ)　点$z_3$は，$2$点$z_1\text{，}{z}_2$を通る直線に関して$0$と反対側にある．

(ウ)　$▵z_1{z}_2{z}_3$は正三角形である．

　このとき，以下の問に答えよ．

(1)　$\alpha =\cos 60\mathrm{°}+i\sin 60\mathrm{°}$とするとき，

$\alpha z_1=p{z}_1+q{z}_2$

$\alpha z_2=s{z}_1+t{z}_2$

となる実数$p\text{，}q\text{，}s\text{，}t$をそれぞれ，$|z_1|\text{，}|z_2|$を用いて表せ．

(2)　$z_3=a{z}_1+b{z}_2$となる実数$a\text{，}b$をそれぞれ，$|z_1|\text{，}|z_2|$を用いて表せ．

【５-２】　座標平面上に原点と異なる$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$があり，条件(ア)，(イ)，(ウ)をみたしている．

(ア)　点$\mathrm{A}$は，半直線$\mathrm{OB}$を原点$\mathrm{O}$を中心として正の方向に$120\mathrm{°}$回転した半直線上にある．

(イ)　点$\mathrm{C}$は，直線$\mathrm{AB}$に関して$\mathrm{O}$と反対側にある．

(ウ)　$▵\mathrm{ABC}$は正三角形である．

　このとき，以下の問に答えよ．

(1)　$R=\left(\begin{array}{cc}\cos 60\mathrm{°}& -\sin 60\mathrm{°}\\ \sin 60\mathrm{°}& \cos 60\mathrm{°}\end{array}\right)$とするとき，

$R\overrightarrow{\mathrm{OA}}=p\overrightarrow{\mathrm{OA}}+q\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

$R\overrightarrow{\mathrm{OB}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

となる実数$p\text{，}q\text{，}s\text{，}t$をそれぞれ，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=a\overrightarrow{\mathrm{OA}}+b\overrightarrow{\mathrm{OB}}$となる実数$a\text{，}b$をそれぞれ，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|$を用いて表せ．