1997　横浜国立大学　後期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$x^7+x^5+x^4+x^3+x^2+1$を$x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$で割ったときの商と余りを求めよ．

(2)　$x$がすべての実数値をとるとき，

$(x^3+2x^2+2x+1)(x^7+x^5+x^4+x^3+x^2+1)$

の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．

【２】　関数

$f(x)=ax(1-x)$

がある．$a$を正の定数とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)=x$を満たす正の数$x$が存在するときの$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　$f(f(x))=x$を満たす正の数$x$がちょうど$2$個存在する場合はあるか．理由を述べて答えよ．ただし，$f(f(x))$は$af(x)(1-f(x))$のことである．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　${\log }_{2}x+{\log }_{2}y+{\log }_{2}z=1+{\log }_2(x+y+z)$を満たす整数の組$(x,y,z)$で$x\leqq y\leqq z$であるものをすべて求めよ．

(2)　${\log }_{2}ax+{\log }_{2}by+{\log }_{2}cz=1+{\log }_2(ax+by+cz)$を満たす整数の組$(x,y,z)$が存在するような正の整数の組$(a,b,c)$は全部で何通りあるか．

【４】　関数

$f(x)=(|x|+x)(x-\sin \theta )+(|x|-x)(x+\cos \theta )$

がある．ただし，$0\mathrm{°}<\theta <90\mathrm{°}$とする．$xy$平面上の領域$A$と$B$を

$A=\{(x,y)|x\leqq 0\text{かつ}0\leqq y\leqq f(x)\}\text{，}$

$B=\{(x,y)|0\leqq x\text{かつ}f(x)\leqq y\leqq 0\}$

で定め，それぞれの面積の和を$S$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$A$と$B$を図示せよ．

(2)　$t=\sin (\theta +45\mathrm{°})$として，$S$を$t$の式で表せ．

(3)　$\theta$が$0\mathrm{°}<\theta <90\mathrm{°}$の範囲を動くとき，$S$のとりうる値の範囲を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　数列$\{a_n\}$が

$a_1=0\text{，}{a}_2={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}{a}_{n+1}-a_n=({\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}}-1)({\displaystyle \frac{1}{a_{n+2}}}-1)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

を満たしている．一般項$a_n$が$n$を用いてどのように表されるかを推測し，その推測が正しいことを数学的帰納法を用いて示せ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　次の定積分を計算せよ．

${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{dx}{1+e^{-x}}}$

【２】　$a$を正の定数とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)

$f(x)=x^{-\alpha }{\displaystyle {\int }_1^x}{\displaystyle \frac{\log t}{t}}dt\text{（}x\geqq 1\text{）}$

を最大にする$x$を$\beta$とするとき，$\beta$を$\alpha$で表せ．

(2)　(1)で求めた$\beta$に対して

${\displaystyle {\int }_1^{\beta }}{t}^{\alpha -1}\log tdt$

の値を求めよ．

【３】　$xy$平面上を運動する点$\mathrm{P}$の時刻$t$における座標は

$\{\begin{array}{l}x=\cos t+a\cos 2t\\ y=\sin t+a\sin 2t\end{array}$

で与えられている．ただし，$a$は$0<a<{\displaystyle \frac{1}{2}}$なる定数である．点$(-a,0)$を$\mathrm{A}$で表す．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{A}$から$\mathrm{P}$への距離の最大値と最小値を求めよ．

(2)　点$\mathrm{Q}$をベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$が$\mathrm{P}$の速度ベクトルとなるように定めるとき，三角形$\mathrm{APQ}$の面積$S(t)$を求めよ．

(3)　(2)で求めた$S(t)$に対して

${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}S(t)dt$

を求めよ．

【４】　四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．線分$\mathrm{OA}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$線分$\mathrm{PB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{Q}\text{，}$線分$\mathrm{QC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{R}\text{，}$直線$\mathrm{PB}$と三角形$\mathrm{ABC}$との交点を$\mathrm{S}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を，$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$を，$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(3)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積を$V_1\text{，}$四面体$\mathrm{OPQR}$の体積を$V_2$とするとき，${\displaystyle \frac{V_2}{V_1}}$を求めよ．

【５】　複素数$z=x+yi$（$x\text{，}y$は実数）に対して，複素数$w$を

$w={\displaystyle \frac{z}{z+1}}$

で定める．以下の$3$つの各場合について，$w$のとりうる値の範囲を複素数平面上に図示せよ．

(1)　$y>0$

(2)　$x^2+y^2>1$かつ$y>0$

(3)　$|x|<{\displaystyle \frac{1}{2}}$かつ$y>0$

【６】　座標空間内に$x$軸と点$\mathrm{P}(t,0,0)$で接する半径$2$の球$S$がある．また，点$(0,0,1)$を通り$y$軸に平行な直線$l$が，球$S$と点$\mathrm{Q}$で接している．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$t$の範囲を求めよ．

(2)　$t=0$のとき，$S$の中心の座標を求めよ．

(3)　線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値を求めよ．