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1997-10421-0101
1997 信州大学 前期 教育学部
易□ 並□ 難□
【1】 xy‐ 平面上に
円 C: x2+ y2+ 6⁢x- 2⁢y+ 8=0 ,
直線 l: x+y-4 =0
がある.このとき,次の各問に答えなさい.
(1) 円 ( x+1) 2+ (y- 3)2 =2 は直線 l と円 C に接していることを示しなさい.
(2) 直線 l に接し,円 C と外接しながら動く円の中心が描く曲線の方程式を求めなさい.
1997-10421-0102
【2】
an= ∑ k=1 n⁡ 1k- log⁡ (n+ 1 2) (n =1 ,2 ,3 ,⋯ )
とおくとき,次の各問に答えなさい.
(1) 関数 f⁡ (x) =1 x-log ⁡ 2 ⁢x+1 2⁢x -1 ( x> 12 ) の増減を調べて, y=f⁡ (x ) のグラフの概形を書きなさい.
(2) すべての n について, an> an+ 1 が成り立つことを示しなさい.
(3) すべての n について, an> 0 が成り立つことを示しなさい.
1997-10421-0103
【3】 xy‐ 平面上に,点 A (1 ,0) ,B (0 ,1) と円 C: x2+ y2= 1 がある.点 P を円 C の第 1 象限内の弧 AB 上を A から B まで動く点とし,点 Q を線分 PQ が x 軸に平行で PQ =PA をみたす点とする.ただし, Q の x 座標は P の x 座標より小さくないものとする.このとき,次の各問に答えなさい.
(1) Q の x 座標の最大値を求めて, Q の軌跡の概形を書きなさい.
(2) 線分 PQ が動いて得られる図形の面積を求めなさい.
1997-10421-0104
【4】,【5】から1題選択
【4】 球面 S: x2+ y2+ z2= 4 に内接する正四面体 ABCD がある.直線 AB はベクトル v→= (2, 2,1 ) に平行で,点 ( a,0, 0) を通る.このとき,次の問に答えなさい.
(1) 点 A から平面 BCD に下ろした垂線の足を H とする.正四面体 ABCD の一辺の長さを b とおくとき,線分 AH の長さを b で表しなさい.
(2) b の値を求めなさい.
(3) a の値を求めなさい.
(4) 辺 AB の中点の座標を求めなさい.
1997-10421-0105
【5】 複素平面上で,点 1+ 3⁢i を中心とする半径 1 の円を C 1 とする. r は正の数とし, α=r ⁢(cos ⁡θ+i sin⁡θ ) とする.このとき,次の各問に答えよ.
(1) 点 z が円 C 1 上にあれば,点 α ⁢z はある円 C 2 上にあることを示しなさい.
(2) 円 C 1 と円 C 2 とが外接するとき, cos⁡θ を r の関数として表し, θ と r が取りうる値の範囲を求めなさい.
(3) α≠1 のとき,円 C 2 は円 C 1 の内部に含まれないことを示しなさい.