1997 信州大学 前期 教育・繊維学部MathJax

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1997 信州大学 前期 教育学部

易□ 並□ 難□

【1】  xy 平面上に

C: x2+ y2+ 6x- 2y+ 8=0

直線 l: x+y-4 =0

がある.このとき,次の各問に答えなさい.

(1) 円 ( x+1) 2+ (y- 3)2 =2 は直線 l と円 C に接していることを示しなさい.

(2) 直線 l に接し,円 C と外接しながら動く円の中心が描く曲線の方程式を求めなさい.

1997 信州大学 前期 教育学部

易□ 並□ 難□

【2】

an= k=1 n 1k- log (n+ 1 2) n =1 2 3

とおくとき,次の各問に答えなさい.

(1) 関数 f (x) =1 x-log 2 x+1 2x -1 ( x> 12 ) の増減を調べて, y=f (x ) のグラフの概形を書きなさい.

(2) すべての n について, an> an+ 1 が成り立つことを示しなさい.

(3) すべての n について, an> 0 が成り立つことを示しなさい.

1997 信州大学 前期 教育学部

易□ 並□ 難□

【3】  xy 平面上に,点 A (1 ,0) B (0 ,1) と円 C: x2+ y2= 1 がある.点 P を円 C の第 1 象限内の弧 AB 上を A から B まで動く点とし,点 Q を線分 PQ x 軸に平行で PQ =PA をみたす点とする.ただし, Q x 座標は P x 座標より小さくないものとする.このとき,次の各問に答えなさい.

(1)  Q x 座標の最大値を求めて, Q の軌跡の概形を書きなさい.

(2) 線分 PQ が動いて得られる図形の面積を求めなさい.

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【4】,【5】から1題選択

易□ 並□ 難□

【4】 球面 S: x2+ y2+ z2= 4 に内接する正四面体 ABCD がある.直線 AB はベクトル v= (2, 2,1 ) に平行で,点 ( a,0, 0) を通る.このとき,次の問に答えなさい.

(1) 点 A から平面 BCD に下ろした垂線の足を H とする.正四面体 ABCD の一辺の長さを b とおくとき,線分 AH の長さを b で表しなさい.

(2)  b の値を求めなさい.

(3)  a の値を求めなさい.

(4) 辺 AB の中点の座標を求めなさい.

1997 信州大学 前期 教育学部

【4】,【5】から1題選択

易□ 並□ 難□

【5】 複素平面上で,点 1+ 3i を中心とする半径 1 の円を C 1 とする. r は正の数とし, α=r (cos θ+i sinθ ) とする.このとき,次の各問に答えよ.

(1) 点 z が円 C 1 上にあれば,点 α z はある円 C 2 上にあることを示しなさい.

(2) 円 C 1 と円 C 2 とが外接するとき, cosθ r の関数として表し, θ r が取りうる値の範囲を求めなさい.

(3)  α1 のとき,円 C 2 は円 C 1 の内部に含まれないことを示しなさい.

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