1997　信州大学　前期　工学部MathJax

【１】(1)　$mn+2m+3n=300\text{，}120<3m+4n<130$となる自然数$m\text{，}n$を求めよ．

【１】(2)　${\displaystyle \frac{1}{m}}+{\displaystyle \frac{1}{n}}={\displaystyle \frac{1}{35}}\text{，}m\leqq n$となる自然数$m\text{，}n$をすべて求めよ．

【２】　$2$つの方程式

$\{\begin{array}{l}xy=a^6\\ (\log x)(\log y)={(\log b)}^2\end{array}$

を満たす$x\text{，}y$が存在するような正の数$a\text{，}b$の存在する範囲を図示せよ．ただし，対数は常用対数とする．

【３】　辺$\mathrm{BC}$の長さ$a$が一定の三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle B={\theta }_1\text{，}\angle C={\theta }_2$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　この三角形の面積$S$を$a\text{，}{\theta }_1\text{，}{\theta }_2$を用いて表せ．

(2)　${\theta }_1+{\theta }_2={\displaystyle \frac{5}{6}}\pi$のとき，$S$の最大値を求め，そのときの辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}$の長さを求めよ．

【４】　曲線$y={\displaystyle \frac{2}{x}}$の第$1$象限の部分を$C$とし，その上に相異なる$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$がある．座標の原点を$\mathrm{O}$とし，線分$\mathrm{OP}\text{，}\mathrm{OQ}$および曲線$C$で囲まれた図形の面積が$\log 9$になっているとする．このとき，$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$における曲線$C$の$2$つの接線の交点の軌跡の方程式を求めよ．ただし，対数は自然対数とする．