Mathematics
Examination
Test
Archives
METAトップへ
年度一覧へ
1997年度一覧へ
大学別一覧へ
信州大一覧へ
1997-10421-0501
1997 信州大学 後期 理学部数学III,C
易□ 並□ 難□
【1】 a>0 ,b> 0 とする.双曲線 x2 a2 - y2b 2= 1 上の点 P (p ,q) における接線がこの双曲線の 2 本の漸近線と交わる点をそれぞれ Q , R とする.
(1) 点 P は線分 QR の中点であることを証明せよ.
(2) O を原点とするとき, ▵OQR の面積を求めよ.
1997-10421-0502
【2】 次の等式を満たす 0≦ x≦1 で定義された関数 f⁡ (x ) を求めよ.
f(x )2 =2⁢f ⁡(x )+x ⁢ ∫01 {f ⁡(t )-1 } 2⁢dt (ただし, f⁡( 0)= 2 とする)
1997-10421-0503
【3-1】〜【3-3】より1題選択
【3-1】 各成分が整数である行列 A= ( ab cd ) に対し, Δ=a⁢ d-b⁢c とし, E を単位行列とする.次の問いに答えよ.
(1) δ=1 , A2= E を満たす行列 A をすべて求めよ.
(2) δ=1 ,A3 =E を満たす行列 A が無限個あることを示せ.
1997-10421-0504
【3-2】 正数 k に対し,直線 l: y=- 12⁢ x+ k が楕円 x 2+4⁢ y2= 4 と点 P で接するとする.
(1) 定数 k の値と接点 P の座標を求めよ.
(2) 楕円の焦点を F 1( -3, 0) ,F 2( 3,0 ) とするとき, F2 の接線 l に関する対称点を F2 ′ とすれば, 3 点 F1 , P , F 2′ は同一直線上にあることを証明せよ.
1997-10421-0505
【3-3】 関数 f⁡ (x) =x2 +2⁢x ( 0≦ x≦1 ) について以下の問いに答えよ.なお, n は自然数とする.
(1) xk= kn ( k=0 ,1 ,2 ,⋯ ,n ) とし, Sn= ∑ k=0 n-1 ⁡ f( xk) n とする. S=lim n→∞ ⁡S n を求めよ.
(2) Tn= 12 ⁢ { f ⁡( x0) +f⁡( xn) n+ 2Sn }, Cn= ∑ k=0 n-1 ⁡ 1n ⁢ f⁡ ( xk+ xk+1 2 ) とする. T1 , T2 , T3 , T4 および C1 ,C 2 ,C 3 ,C4 を計算し, {T n} ,{ Cn } のいずれが S の近似としてすぐれているか推測せよ.