1997 信州大学 後期 理学部数学III,CMathJax

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1997 信州大学 後期 理学部数学III,C

易□ 並□ 難□

【1】  a>0 b> 0 とする.双曲線 x2 a2 - y2b 2= 1 上の点 P (p ,q) における接線がこの双曲線の 2 本の漸近線と交わる点をそれぞれ Q R とする.

(1) 点 P は線分 QR の中点であることを証明せよ.

(2)  O を原点とするとき, OQR の面積を求めよ.

1997 信州大学 後期 理学部数学III,C

易□ 並□ 難□

【2】 次の等式を満たす 0 x1 で定義された関数 f (x ) を求めよ.

f(x )2 =2f (x )+x 01 {f (t )-1 } 2dt (ただし, f( 0)= 2 とする)

1997 信州大学 後期 理学部数学III,C

【3-1】〜【3-3】より1題選択

易□ 並□ 難□

【3-1】 各成分が整数である行列 A= ( ab cd ) に対し, Δ=a d-bc とし, E を単位行列とする.次の問いに答えよ.

(1)  δ=1 A2= E を満たす行列 A をすべて求めよ.

(2)  δ=1 A3 =E を満たす行列 A が無限個あることを示せ.

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【3-1】〜【3-3】より1題選択

易□ 並□ 難□

【3-2】 正数 k に対し,直線 l: y=- 12 x+ k が楕円 x 2+4 y2= 4 と点 P で接するとする.

(1) 定数 k の値と接点 P の座標を求めよ.

(2) 楕円の焦点を F 1( -3, 0) F 2( 3,0 ) とするとき, F2 の接線 l に関する対称点を F2 とすれば, 3 F1 P F 2 は同一直線上にあることを証明せよ.

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【3-1】〜【3-3】より1題選択

易□ 並□ 難□

【3-3】 関数 f (x) =x2 +2x 0 x1 について以下の問いに答えよ.なお, n は自然数とする.

(1)  xk= kn k=0 1 2 n とし, Sn= k=0 n-1 f( xk) n とする. S=lim n S n を求めよ.

(2)  Tn= 12 { f ( x0) +f( xn) n+ 2Sn } Cn= k=0 n-1 1n f ( xk+ xk+1 2 ) とする. T1 T2 T3 T4 および C1 C 2 C 3 C4 を計算し, {T n} { Cn } のいずれが S の近似としてすぐれているか推測せよ.

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