1997　信州大学　前期　繊維学部精密素材工学科MathJax

【１】　$n$を自然数とする数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$が

$a_n={\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}{e}^{-x}\sin xdx$

$b_n={\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}{e}^{-x}\cos nxdx$

で定められている．この時，次の問いに答えよ．

(1)　$a_n$と$b_n$を求めよ．

(2)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$と$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$を求めよ．

(3)　$c_n=a_n-b_n$を最大とする$n$と$c_n$の値を求めよ．

【２】　実数$x$を変数とする関数$g(x)$が

$g(x)=\cos x+\sin x+ax+b$

である時，次の関係式

$g(x)={\displaystyle {\int }_0^x}(x-t)f(t)dt$

を満たす関数$f(x)$と$2$つの定数$a$と$b$を求めよ．

【３】　実数$x$を変数とする関数$f(x)=e^{-x^2}$に関して次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$の増減表を示し，それに従って曲線$y=f(x)$の概形を図示せよ．

(2)　曲線$y=f(x)$の変曲点における接線の方程式を求め，(1)の図にそれを図示せよ．

(3)　$2$つの変曲点を結ぶ直線より$y$の値が大きい領域で，曲線$y=f(x)$と(2)で求めた接線の方程式とで囲まれた部分を$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．