1997　名古屋大学　前期MathJax

【１】　正三角形$\mathrm{ABC}$上に時速$u\text{，}v\text{，}w$で等速運動する$3$点があって，それぞれ$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{AB}$に沿って$\mathrm{B}$へ，$\mathrm{B}$から辺$\mathrm{BC}$に沿って$\mathrm{C}$へ，$\mathrm{C}$から辺$\mathrm{CA}$に沿って$\mathrm{A}$へ同時に出発したとする．$t$時間後のそれらの位置をそれぞれ$\mathrm{P}(t)\text{，}\mathrm{Q}(t)\text{，}\mathrm{R}(t)$とする．いずれかの点が次の頂点に到達するまでの間，$▵\mathrm{P}(t)\mathrm{Q}(t)\mathrm{R}(t)$の重心が動かないための条件を求めよ．

【２】　原点$\mathrm{O}$を通る$3$次曲線$y=x^3$と$\mathrm{O}$を通る直線$l:y=tx\text{（}t>0\text{）}$を考える．$x>0$での曲線と$l$との交点を$\mathrm{P}$とする．

1)　$x\geqq 0$の範囲で曲線と$l$とで囲まれる領域の面積を求めよ．

2)　点$\mathrm{Q}$が曲線上を$\mathrm{O}$から$\mathrm{P}$まで動くとき$▵\mathrm{OPQ}$の面積の最大値を求めよ．

【３】(a)　均質な材質で出来た直方体の各面に$1$から$6$までの数を一つずつ書いてサイコロの代わりにする（$1$の反対側が$6$とはかぎらない）．ある数の出る確率が${\displaystyle \frac{1}{9}}$であり，別のある数が出る確率が${\displaystyle \frac{1}{4}}$であるとする．さらに出る目の数の期待値が$3$であるとする．$3$の書かれている面の反対側の面に書かれている数は何か．

【３】(b)　多項式$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$（$a\text{，}b\text{，}c$は実数）を考える．$f(-1)\text{，}f(0)\text{，}f(1)$がすべて整数ならば，すべての整数$n$に対し，$f(n)$は整数であることを示せ．

【３】(a)　$▵\mathrm{ABC}$上に時速$u\text{，}v\text{，}w$で等速運動する$3$点があって，それぞれ$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{AB}$に沿って$\mathrm{B}$へ，$\mathrm{B}$から辺$\mathrm{BC}$に沿って$\mathrm{C}$へ，$\mathrm{C}$から辺$\mathrm{CA}$に沿って$\mathrm{A}$へ同時に出発したとする．$t$時間後のそれらの位置をそれぞれ$\mathrm{P}(t)\text{，}\mathrm{Q}(t)\text{，}\mathrm{R}(t)$とする．$3$点が同時に次の頂点に到達するための必要十分条件は，$▵\mathrm{P}(t)\mathrm{Q}(t)\mathrm{R}(t)$の重心の位置が$t$によらず一定なことである．これを示せ．

【３】(b)　$2$次行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$が$A^2=3A$をみたすとする．

1)　$t=a+d\text{，}D=ad-bc$を求めよ．

2)　さらに$A\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$であり，方程式$A\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right)$が解を持つとき，行列$A$を求めよ．

【２】　座標平面上で，一つの円が放物線$y=x^2$に右側から接し，かつ$x$軸に上から接している．放物線との接点$\mathrm{A}$の$x$座標を$a\text{（}>0\text{）}$とするとき，円の中心$\mathrm{C}$の座標を求めよ．

　ただし，円と放物線がある点で接するとは，その点で両者が交わり，かつその点における両者の接線が一致することをいう．

【３】　正数からなる数列$\{a_n\}$が，条件

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{(a_n)}^2=n^2+2n$

をみたしているとする．数列$\left\{{\displaystyle \frac{a_1+\cdots +a_n}{n^r}}\right\}$が収束する実数$r$の範囲を求めよ．また収束する場合，その極限値を求めよ．

【４】(b)1)　多項式$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$（$a\text{，}b\text{，}c$は実数）を考える．$f(-1)\text{，}f(0)\text{，}f(1)$がすべて整数ならば，すべての整数$n$に対し，$f(n)$は整数であることを示せ．

2)　$f(1996)\text{，}f(1997)\text{，}f(1998)$がすべて整数の場合はどうか？