1997　京都大学　前期MathJax

【１】　単位円$C:x^2+y^2=1$上の点$\mathrm{P}$をとり，定点$\mathrm{A}(-2,0)$から$\mathrm{P}$への線分を引き，その線分の$\mathrm{P}$の側の延長線上に点$\mathrm{Q}$を$\overline{\mathrm{AP}}\cdot \overline{\mathrm{PQ}}=3$となるようにとる．ただし，$\overline{\mathrm{AP}}$は線分$\mathrm{AP}$の長さを表す．

(1)　$s=\overline{\mathrm{AP}}\text{，}t=\overline{\mathrm{OQ}}$とおいて，$t$を$s$で表せ．ただし$\mathrm{O}(0,0)$は原点である．

(2)　点$\mathrm{P}$が円$C$上を動くとき，点$\mathrm{Q}$の描く軌跡を求めよ．

【２】　自然数$n$の約数の個数を$d$とする．$n$の約数すべてを小さい順に並べて得られる数列を$a_k\text{（}1\leqq k\leqq d\text{）}$とする．したがって，$a_1=1\text{，}$$a_d=n\text{，}$$a_k=a_{k+1}$$\text{（}1\leqq k<d\text{）}$である．このとき，$n$に対する次の$2$つの条件(イ)，(ロ)は互いに同値（$\text{(イ)}=\text{(ロ)}$）であることを示せ．

(イ)　$n$は$60$の倍数である．

(ロ)　$n$は$6$個以上の約数をもち，${\displaystyle \frac{1}{a_3}}+{\displaystyle \frac{1}{a_6}={\displaystyle \frac{1}{a_2}}}$となる．

【３】　面積$1$の$3$角形$▵\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$上に$1$点$\mathrm{P}$をとり，$\mathrm{P}$を通り辺$\mathrm{BC}$に平行な直線と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．さらに線分$\mathrm{PQ}$の中点に関して$\mathrm{A}$と対称な点を$R$とする．点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{AB}$上を動くとき，$▵\mathrm{ABC}$と$▵\mathrm{PQR}$の共通部分の面積$S$の最大値を求めよ．

【４】　$2$次関数$y={(ax+b)}^2\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}$の最大値を$M(a,b)$とする．このとき，次の不等式(＊)が任意の実数$a\text{，}b$に対して成り立つような実数$m$の中で最小のものを求めよ．

(＊)　$M(a,b)\leqq m{\displaystyle {\int }_0^1}{(ax+b)}^{2}dx$

【５】　箱の中に$1$と書かれたカードと$3$と書かれたカ−ドが合計$N$枚入れてある．$1$回の試行で，箱の中からでたらめに$1$枚のカードを取り出し，その数字を見た上で，箱の中に戻す．

　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}2$人がそれぞれ試行を$2$回または$3$回行って，その間に取り出したカードに書かれている数の合計が大きい方を勝ちとするゲームを行う．ただし，$1$人が$3$回の試行を行って，取り出した数の合計が$7$または$9$の場合には，その人の得点は$0$とする規則である．

　そこで，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$はそれぞれ次の作戦でゲームを行うことにした．

$\mathrm{A}\text{：}2$回目までの合計が$2$のときは$3$回目を行い，$4$または$6$のときは$3$回目を行わない．

$\mathrm{B}\text{：}2$回目までの合計が$2$または$4$のときは$3$回目を行い，$6$のときは$3$回目を行わない．

　$1$と書かれたカードの枚数を$n\text{（}0<n<N\text{）}$とし，$p={\displaystyle \frac{n}{N}}$とする．

(1)　$\mathrm{A}$の得点の期待値$E_{\mathrm{A}}\text{，}\mathrm{B}$の得点の期待値$E_{\mathrm{B}}$をそれぞれ$p$で表せ．また，$E_{\mathrm{A}}>E_{\mathrm{B}}$となるための$p$の条件を求めよ．

(2)　$\mathrm{A}$の勝つ確率を$P_{\mathrm{A}}\text{，}\mathrm{B}$の勝つ確率を$P_n$とするとき：「$E_{\mathrm{A}}>E_{\mathrm{B}}$ならば$P_{\mathrm{A}}>P_n$」といえるか？

【２】　$n$が相異なる素数$p\text{，}q$の積，$n=pq\text{，}$であるとき，$(n-1)$個の数${}_{n}C_k$$\text{（}1\leqq k\leqq n-1\text{）}$の最大公約数は$1$であることを示せ．

【３】　$2$つの放物線$y=x^2+1$と$y=k{x}^2\text{（}k>1\text{）}$で囲まれた部分の面積が第$1$の放物線上の点$\mathrm{P}(a,a^2+1)$における接線$L$によって$2$等分されている（すなわち，$L$の上側にある部分の面積と下側にある部分の面積が等しい）．

(1)　$a^2$を$k$で表せ．

(2)　$\underset{k\to \infty }{\lim }{a}^2$を求めよ．

【４】(1)　$0\leqq \alpha <\beta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$であるとき，次の不等式を示せ．

${\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }}\sin xdx+{\displaystyle {\int }_{\pi -\beta }^{\pi -\alpha }}\sin xdx>(\beta -\alpha )(\sin \alpha +\sin (\pi -\beta ))$

(2)　${\displaystyle \sum _{k=1}^7}\sin {\displaystyle \frac{k\pi }{8}}<{\displaystyle \frac{16}{\pi }}$を示せ．

【６】　曲線$y=\cos x$の$x=t(0<t<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$における接線と$x$軸，$y$軸の囲む$3$角形の面積を$S(t)$とする．

(1)　$t$の関数として，$S(t)(0<t<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$を求めよ．

(2)　$S(t)$はある$1$点$t=t_0$で最小値をとることを示せ．また，${\displaystyle \frac{\pi }{4}<t_0<1}$を示せ．

(3)　$S(t_0)=2t_0\cos t_0$を示せ．また，$S(t_0)>{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}}\pi$を示せ．