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1997 大阪大学 前期

文系

配点率30%

易□ 並□ 難□

【1】 数列 {an } を初項 1 公比 r の等比数列とし,数列 {bn } を初項 1 公比 s の等比数列とする.第 n 項が

xn= an+ bn n =1 2 3

で与えられる数列 {xn } を考える.

  x2= 2 x4= 14 のとき,次の問いに答えよ.

(1)  r s を求めよ.ただし r> s とする.

(2) すべての自然数 n について

xn+ 2=2 xn +1+ xn

が成り立つことを示せ.

1997 大阪大学 前期

文系

配点率35%

易□ 並□ 難□

【2】  a 1 より小さい正の定数とする. xy 平面の第 1 象限に,原点 O からの距離が a の点 P をとる.点 P を中心に半径 1 の円をえがき, x 軸との交点を A C y 軸との交点を B D とする.ただし,点 A x 座標,点 B y 座標はともに正とする.

  POA=θ とおくとき,次の問いに答えよ.

(1) 四角形 ABCD の面積 S a θ で表せ.

(2)  θ 0° <θ< 90° の範囲を動くとき, S の最大値および S が最大となるときの θ の値を求めよ.

1997 大阪大学 前期

文系

配点率35%

易□ 並□ 難□

【3】 縦,横,高さがそれぞれ x x y で,これらの和 x+ x+y が一定値 a である直方体を考える.次の問いに答えよ.

(1) 直方体の体積 V が最大となるように x y の値を求めよ.

(2)  a=1 とする.直方体の表面積を S とするとき, V- 12 S が最小となる x y の値を求めよ.

1997 大阪大学 前期

理系

易□ 並□ 難□

【1】 座標平面において, x 座標と y 座標がともに整数である点を格子点と呼ぶ. x 座標と y 座標がともに 0 以上 3 以下である 16 個の格子点を図1のように線分で結んで得られる図形 L を考える.

 動点 A は点 (0, 0) を出発し,点 (3, 3) に到達するまで L 上を等速で移動する.ただし,格子点では静止せずに x 軸の正の方向または y 軸の正の方向へ進み,次の格子点までは線分上を直進する.

 動点 B は点 (3, 3) を出発し,点 (0, 0) に到達するまで L 上を等速で移動する.ただし,格子点では静止せずに x 軸の負の方向または y 軸の負の方向へ進み,次の格子点までは線分上を直進する.

  A B は同時に出発し, A の速さは B の速さの 3 倍とする.

 このとき次の問いに答えよ.

(1)  A B が出会う可能性のある L 上の点をすべて求め,それらの座標を書け.

(2)  A は進む方向の可能性が 2 つある格子点では,確率 p y 軸の正の方向に,確率 1- p x 軸の正の方向に進むとする.同様に, B は進む方向の可能性が 2 つある格子点では,確率 p y 軸の負の方向に,確率 1- p x 軸の負の方向に進むとする.ただし, 0<p <1 とする.このとき,(1)で求めた各点において, A B が出会う確率をそれぞれ求めよ.

(3) (2)で求めた確率のうちで, x 座標が最も小さい点で出会う確率が,他のどの確率よりも大きくなるためには p はどのような範囲にあればよいか.

1997年大阪大前期理系【1】の図1997年大阪大前期理系【1】の図

L

図1

AB の経路の例

図2

1997 大阪大学 前期

理系

易□ 並□ 難□

【2】 平面上において,直線 l と, l 上にない点 A をとる.

 直線 l 上に点 B を線分 AB と直線 l が直交するようにとり,点 B を中心として直線 l を角度 θ だけ回転して得られる直線を m とする.

 直線 l 上にない点 P をとり,直線 l に関して P と対称な点 Q をとる.また点 A を中心として点 Q を角度 2 θ だけ回転して得られる点を R とする.

 このとき線分 PR の中点 M は直線 m 上にあることを証明せよ.

1997 大阪大学 前期

理系

易□ 並□ 難□

【3】 楕円 x2a 2+ y2 b2 =1 a >b>0 と双曲線 x2a 2- y2 c2 =1 c >0 を考える.

 点 P (s,t ) s> 0 t>0 を双曲線上にとり,原点 O と点 P を結ぶ線分と楕円の交点を Q とする.点 P における双曲線の接線が x 軸と交わる点を A Q における楕円の接線が x 軸と交わる点を B とする.

 点 P を直線 PA と直線 QB が直交するようにとるとき,以下の問いに答えよ.

(1) 点 P の座標をそれぞれ求めよ.

(2) 点 A B はそれぞれ楕円,双曲線の焦点であることを示せ.

(3)  k 0< k<1 をみたす定数とする. a b c a 2+b 2=1 a2- b2= k2 をみたしながら変化するとき,直線 PA と直線 QB の交点 R y 座標が最大となるような a b c を求めよ.

1997 大阪大学 前期

理系

易□ 並□ 難□

【4】  a は実数とする.曲線 y= ex 上の各点における法線のうちで,点 P (a, 3) を通るものの個数を n (a) とする. n( a) を求めよ.

1997 大阪大学 前期

理系

易□ 並□ 難□

1997年大阪大前期理系【5】の図

【5】 関数 f (θ)= 2 sin2 θ+cos θ に対し,次の条件をみたす正の数 a を考える.

{ |θ |<a ならば f (θ)> 0 |θ |=a ならば f(θ )=0

(1)  a の値を求めよ.

(2) 曲線 C を媒介変数 θ - aθ a を用いて

C:{ x= f(θ )y =sinθ

で定める. x 軸に平行な直線 y= t と曲線 C が共有点をもつような実数 t の範囲を求め,共有点の x 座標を t で表せ.

(3) 曲線 C y 軸とで囲まれる図形を, y 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積を求めよ.



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