1997　神戸大学　前期MathJax

【１】　$▵\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{L}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$線分$\mathrm{CL}$と線分$\mathrm{BM}$の交点を$\mathrm{P}$とする．線分$\mathrm{AP}$の延長線が線分$\mathrm{BC}$と交わる点を$\mathrm{N}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AN}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．

(3)　$\angle \mathrm{ACB}=\theta \text{，}\mathrm{AC}=2a$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AN}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$が直交するときに，線分$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{AB}$の長さを$a$と$\theta$を用いて表せ．

【２】　平面$x+2y+z=2$を$\pi \text{，}$直線${\displaystyle \frac{x-1}{a}}={\displaystyle \frac{y-2}{3}}={\displaystyle \frac{z+1}{-4}}$を$l$とし，$\pi$と$l$は交点をもたないとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a$の値を求めよ．

(2)　平面$\pi$に関し点$(1,2,-1)$と対称な点を通り直線$l$と平行な直線の方程式を求めよ．

【３】　互いに異なる$3$つの複素数$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$の間に，等式

${\alpha }^3-3{\alpha }^2\beta +3\alpha {\beta }^2-{\beta }^3=8({\beta }^3-3{\beta }^2\gamma +3\beta {\gamma }^2-{\gamma }^3)$

がなりたつとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{\alpha -\beta }{\gamma -\beta }}$を求めよ．

(2)　$3$点$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$が同一直線上にないとき，それらを頂点とする三角形はどのような三角形か．

【４】　$3$次関数$f(x)=a{x}^3+(a-2)x\text{（}a>0\text{）}$について，次の問いに答えよ．

(1)　$y=f(x)$が極値をもつような$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　$y=f(x)$が極値をもつとき，極大値と極小値の差が$2|a-2|$と等しくなるような$a$の値を求めよ．

【２】　$2n$個の白玉と$n$個の赤玉をでたらめに並べる．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　直線上に並べるときに赤玉どうしが隣り合わない確率を求めよ．

(2)　円周状に並べるときに赤玉どうしが隣り合わない確率を求めよ．

【３】　平面上の相異なる$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$は原点$\mathrm{O}$と異なり，$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$は同一直線上にないとする．ここで，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．平面上の一次変換$f$が条件

$f(\overrightarrow{a})=\overrightarrow{a}\text{，}f(\overrightarrow{b})=3\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$

をみたすとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f(t\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})⫽t\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$をみたすような実数$t$を求めよ．

(2)　点$\mathrm{A}$を通り，原点を通らない直線$l$であって，変換$f$によって$l$の点がすべて$l$の点にうつされるような直線$l$の方程式を求めよ．

【４】　複素数平面上において，複素数$0\text{，}2\text{，}z\text{，}{z}^2$を表す点を，それぞれ$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$とする．$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$が三角形の頂点をなすとき，次の問いに答えよ．

(1)　$▵\mathrm{OAB}$が直角三角形になるとき，点$\mathrm{B}$は複素数平面上でどのような図形上にあるかを図示せよ．

(2)　$▵\mathrm{OAB}$が直角三角形であり，かつ，$\angle \mathrm{AOC}$が直角になるときの$z$を求めよ．

【５】　数列$\left\{a_n\right\}$は

$0<a_1<3\text{，}{a}_{n+1}=1+\sqrt{1+a_n}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

をみたすものとする．このとき，次の(1)，(2)，(3)を示せ．

(1)　$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して，$0<a_n<3$が成り立つ．

(2)　$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して，$3-a_n\leqq {\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^{n-1}(3-a_1)$が成り立つ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=3$

【６】　曲線$y=\sqrt{1-x^2}$を$C_1\text{，}$曲線$y={\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}$を$C_2$とし，$C_1$と$C_2$の$(x,y)=(0,1)$以外の交点の$x$座標を$\pm a\text{（}a>0\text{）}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a^2$の値を求めよ．

(2)　$0\leqq x\leqq a$で$2$つの曲線$C_1\text{，}{C}_2$に囲まれた部分の面積を$S_1$とする．また，$a\leqq x\leqq 1$で$2$つの曲線$C_1\text{，}{C}_2$と直線$x=1$に囲まれた部分の面積を$S_2$とする．$S_1$と$S_2$の大小を判定せよ．