1997　九州大学　前期MathJax

【１】　$2$定点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(4,2)$と円${(x-2)}^2+{(y-2)}^2=4$の周上を動く点$\mathrm{P}$がある．

(1)　$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{P}$が同一直線上にあるとき，$\mathrm{A}$と異なる点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(2)　$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{P}$が同一直線上にないとき，$▵\mathrm{OAP}$の重心の軌跡を求めよ．

(3)　$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{P}$が同一直線上にないとき，$▵\mathrm{OAP}$の面積の最大値を求めよ．

【２】　関数$f(x)=a{x}^2+bx+c\text{（}a\ne 0\text{）}$について，次の各問に答えよ．

(1)　$x$の値が$p$から$q$まで変化するとき，関数$f(x)$の平均変化率を求めよ．ただし，$p<q$とする．

(2)　$f(x)$の$x=r$における微分係数$f^{\prime }(r)$を定義にしたがって求めよ．

(3)　(1)の平均変化率と，(2)の$f^{\prime }(r)$が一致するとき，$r$を$p\text{，}q$を用いて表せ．

(4)　$f(x)=x^2$とする．このとき，放物線$y=x^2$上の$2$点$\mathrm{P}(p,p^2)\text{，}\mathrm{Q}(q,q^2)$における接線と放物線で囲まれる図形の面積を求めよ．ただし，$p<q$とする．

【３】(1)　$2^m\leqq 4m^2$であるが，$2^{m+1}>4{(m+1)}^2$である最小の自然数$m$を求めよ．

(2)　$m$を(1)で求めた自然数とする．そのとき$m<n$をみたすすべての自然数$n$について，$4n^2<2^n$が成り立つことを示せ．

(3)　$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{2}^k-{\displaystyle \sum _{k=1}^n}4k^2$とする．$n$を動かしたときの$S_n$の最小値を求めよ．

【４】　次の命題(1)，(2)，(3)について，真のときは証明を与え，偽のときは反例を与えよ．

(1)　$x\text{，}y$を実数とする．

　$|x|\leqq 1$かつ$|y|\leqq 1$ならば，${(x+y)}^2\leqq {(xy+1)}^2$である．

(2)　$a\text{，}b\text{，}c$を実数とする．

　すべての実数$x$について$a{x}^2+bx+c>0$ならば，$b^2-4ac<0$である．

(3)　$a$を整数とする．

　$2$次方程式$x^2+3x+a=0$が有理数の解をもつならば，$a$は偶数である．

【５】(1)　次の$\boxed{}$の中をうめよ．（解答では，例えば，$\text{あ}=\cdots$と記せ．）

$\text{①}$　$2$直線$a\text{，}b$が$1$点$\mathrm{P}$で交わるとき$a\text{，}b$上にない点$\mathrm{X}$について，$\mathrm{X}$から$a\text{，}b$にそれぞれ垂線$\mathrm{XJ}\text{，}\mathrm{XK}$をひく．ただし，$\mathrm{J}\text{，}\mathrm{K}$は$\mathrm{P}$と異なるとする．このとき，$\mathrm{X}$が$\angle \mathrm{JPK}$の$2$等分線上にあるための必要十分条件は，$\mathrm{XJ}=\boxed{\text{あ}}$が成り立つことである．

$\text{②}$　$2$点$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$に対し，点$\mathrm{X}$が線分$\mathrm{CD}$の垂直二等分線上にあるための必要十分条件は，$\boxed{\text{い}}=\boxed{\text{う}}$が成り立つことである．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$の$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線とこの三角形の外接円との交点で$\mathrm{A}$と異なる点を$\mathrm{D}$とおく．

$\text{①}$　線分$\mathrm{AD}$上に$\mathrm{DB}=\mathrm{DX}$となる点$\mathrm{X}$をとると，$\mathrm{X}$より辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{AB}$にひいた垂線の長さは等しいことを示せ．

$\text{②}$　線分$\mathrm{AD}$の$\mathrm{D}$の方向への延長上にある点$\mathrm{Y}$から直線$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{AB}$にひいた垂線の長さが等しいならば，$\mathrm{D}$は線分$\mathrm{XY}$の中点となることを示せ．

【６】　$▵\mathrm{OAB}$において，点$\mathrm{G}$を$\overrightarrow{\mathrm{OG}}=k(\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}})$である点とする．また，$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=p\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=q\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{（}0<p<1\text{，}0<q<1\text{）}$である点とする．

(1)　点$\mathrm{G}$が$▵\mathrm{OAB}$の内部にあるとき，$k$のみたすべき条件を求めよ．ただし，$▵\mathrm{OAB}$の内部とは，$▵\mathrm{OAB}$で囲まれる部分からその周を除いた部分をさす．

(2)　$▵\mathrm{OAB}$と$▵\mathrm{OPQ}$の面積をそれぞれ$S\text{，}{S}^{\prime }$とするとき，${\displaystyle \frac{S^{\prime }}{S}}$を$p\text{，}q$を用いて表せ．

(3)　$3$点$\mathrm{G}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$が同一直線上にあるとき，$k$を$p\text{，}q$を用いて表せ．

(4)　$k={\displaystyle \frac{1}{4}}$であって，$3$点$\mathrm{G}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$が同一直線上にあるとき，${\displaystyle \frac{S^{\prime }}{S}}$の最小値を求めよ．

【７】　複素数平面において，点$z$に関する次の条件を考える．

「原点と異なる点$\alpha$を中心として点$z$を角$\theta$だけ回転すると，移った点の絶対値が$\alpha$の絶対値の${\displaystyle \frac{1}{2}}$になる」

(1)　$\alpha =i\text{，}\theta =90°$のとき，上の条件をみたす点$z$の全体はどんな図形となるか．

(2)　$(\alpha ,\theta )$を一組固定したとき，上の条件をみたす点$z$の全体はどんな図形となるか．

(3)　点$\alpha$が実軸上にあるとき，(2)の図形が虚軸に接するのは$\theta$が何度のときか．ただし，$0°\leqq \theta <360°$とする．

【８】　赤玉$2$球，白玉$8$球が入った袋がある．この袋から玉を同時に$2$個取りだし，赤玉は手元に置き，白玉は袋に返すという試行を繰り返す．$n$回の試行の後，袋に赤玉が$2$球残っている確率を$p_n\text{，}1$球残っている確率を$q_n$とおく．

(1)　$p_1\text{，}{q}_1$を求めよ．

(2)　$q_2$を求めよ．

(3)　$p_n\text{，}{q}_n$を$p_{n-1}\text{，}{q}_{n-1}$を用いて表せ．ただし，$n\geqq 2$とする．

【１】　座標平面上を運動する点$\mathrm{P}$の時刻$t$における座標$(x,y)$が

$x=r(t)\cos t\text{，}y=r(t)\sin t$

で与えられている．ただし，$r(t)=1+\cos t$であるとする．

(1)　$0\leqq t\leqq 2\pi$の範囲で，点$\mathrm{P}$の速さ（速度の大きさ）が$1$となる時刻を求めよ．

(2)　$0\leqq t\leqq 2\pi$の間に，点$\mathrm{P}$が動いた道のりを求めよ．

(3)　点$\mathrm{P}$が$0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲で描く曲線と$x$軸，$y$軸とで囲まれる図形の面積を求めよ．

【２】　$m$を正の定数とし，$x\geqq 0$で定義された連続関数$S(x)$が常に正の値をとるとき，$x\geqq 0$において関数$u(x)\text{，}v(x)\text{，}f(x)\text{，}g(x)$を

$u(x)={\displaystyle {\int }_0^x}S(t)dt+m\text{，}v(x)={\displaystyle {\int }_0^x}tS(t)dt+m\text{，}$

$f(x)={\displaystyle \frac{v(x)}{u(x)}}\text{，}g(x)=v(x)-xu(x)$

とおく．

(1)　$g(0)>0\text{，}g(1)<0$および$x>0$において$g^{\prime }(x)<0$を示せ．

(2)　$f(x)=x$をみたす$x$の値がただ一つ存在することを示せ．

(3)　$f(x)=x$をみたす$x$の値を$a$とするとき，$f(x)$の最小値を求めよ．

【６】　四面体$\mathrm{OABC}$において，点$\mathrm{G}$を$\overrightarrow{\mathrm{OG}}=k(\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}})$である点とする．また，$3$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=p\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=q\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=r\overrightarrow{\mathrm{OC}}$$\text{（}0<p<1\text{，}$$0<q<1\text{，}$$0<r<1\text{）}$である点とする．

(1)　点$\mathrm{G}$が四面体$\mathrm{OABC}$の内部にあるとき，$k$のみたすべき条件を求めよ．ただし，四面体の内部とは，四面体からその表面を除いた部分をさす．

(2)　四面体$\mathrm{OABC}$と四面体$\mathrm{OPQR}$の体積をそれぞれ$V\text{，}{V}^{\prime }$とするとき，${\displaystyle \frac{V^{\prime }}{V}}$を$p\text{，}q\text{，}r$を用いて表せ．

(3)　$4$点$\mathrm{G}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$が同一平面上にあるとき，$k$を$p\text{，}q\text{，}r$を用いて表せ．

(4)　$p=3k={\displaystyle \frac{1}{2}}$であって，$4$点$\mathrm{G}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$が同一平面上にあるとき，${\displaystyle \frac{V^{\prime }}{V}}$の最小値を求めよ．

【７】　複素数平面において，点$z$に関する次の条件を考える．

「原点と異なる点$\alpha$を中心として点$z$を角$\theta$だけ回転すると，移った点の絶対値が$\alpha$の絶対値の${\displaystyle \frac{1}{2}}$になる」

(1)　$\alpha =i\text{，}\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，上の条件をみたす点$z$の全体はどんな図形となるか．

(2)　$(\alpha ,\theta )$を一組固定したとき，上の条件をみたす点$z$の全体はどんな図形となるか．

(3)　点$\alpha$が実軸上にあるとき，(2)の図形が虚軸に接するときの$\theta$を求めよ．ただし，$0\leqq \theta <2\pi$とする．

【８】　$n$個の袋があり，それぞれの袋には金色のカード$3$枚と銀色のカード$(3n-3)$枚入っている．それぞれの袋から$1$枚ずつカードを抜き出すとき，確率変数$X_n$を抜き出された金色のカードの枚数とおく．

(1)　$X_4$が値$3$をとる確率$P(X_4=3)\text{，}$および値$2$をとる確率$P(X_4=2)$を求めよ．

(2)　金色のカードを$1$枚抜き出すごとに賞金$100$円を受け取る．$n=4$のときに受け取る賞金の期待値を求めよ．

(3)　一般の$n\text{（}n\geqq 3\text{）}$について，$X_n$が値$3$をとる確率$P(X_n=3)$を求めよ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }P(X_n=3)$を求めよ．

【９】　$a\text{，}b$を与えられた実数とする．

(1)　方程式$ax=b$がただ一つの解をもつときの条件を述べよ．

　また，この方程式が無数の解をもつときの条件および，解をもたないときの条件を述べよ．

(2)　連立一次方程式

$\left(\begin{array}{ccc}-3& -2& 1\\ 2a+3& 3& -2\\ 2& a& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 1\end{array}\right)$

がただ一つの解をもつときの$a$の条件を求め，このときの解を求めよ．

(3)　(2)の連立一次方程式が無数の解をもつときの$a$の条件を求めよ．さらに，このときの解を$x=u\text{，}y=v\text{，}z=w$とするとき，$v\text{，}w$を$u$で表せ．

(4)　(2)の連立一次方程式が解をもたないときの$a$の条件を求めよ．

【10】　双曲線

${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}-{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1\text{（}a\text{，}b>0\text{）}$

の接線$y=mx+n$にこの双曲線の焦点$\mathrm{F}(c,0)\text{，}{\mathrm{F}}^{\prime }(-c,0)\text{（}c>0\text{）}$より垂線$\mathrm{FH}\text{，}{\mathrm{F}}^{\prime }{\mathrm{H}}^{\prime }$をひく．

(1)　$n$を$m$で表せ．

(2)　$\mathrm{H}\text{，}{\mathrm{H}}^{\prime }$は，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$a$の円周上にあることを示せ．

(3)　原点$\mathrm{O}$から接線$y=mx+n$への距離を$t$とするとき，$▵\mathrm{H}\mathrm{O}{\mathrm{H}}^{\prime }$の面積$S$を$t$で表せ．さらにこの接線を動かすとき，$t$のとり得る範囲および$S$の最大値を求めよ．

【11】　正の数$c$の$k$乗根$\sqrt[k]{c}$（$k$は$2$以上の整数）の近似値を求めるため

$f(x)=x^k-c\text{，}g(x)=x-{\displaystyle \frac{f(x)}{f^{\prime }(x)}}\text{（}x>0\text{）}$

とおき，

$\sqrt[k]{c}<a_1\text{，}{a}_{n+1}=g(a_n)\text{，}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

とする．

(1)　$\sqrt[k]{c}<a_n$ならば，$\sqrt[k]{c}<a_{n+1}<a_n$を示せ．

(2)　$k=3$のとき，$\sqrt[3]{c}<a_n$ならば，$a_{n+1}-\sqrt[3]{c}<{\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{c}}}{(a_n-\sqrt[3]{c})}^2$を示せ．

(3)　$k=3\text{，}c=2\text{，}{a}_1=1.3$のとき，$a_5-\sqrt[3]{2}<{\displaystyle \frac{1}{2^5\cdot {10}^{16}}}$を示せ．