1997　名古屋市立大　前期MathJax

【１】　$a$を定数とするとき，関数$f(x)=|x^2-x|$と$g(x)=ax$について

(1)　曲線$C:y=f(x)$と直線$l:y=g(x)$が異なる$3$つの共有点を持つような$a$の範囲を求めよ．

(2)　(1)の条件がみたされているとき，$C$と$l$とで囲まれる$2$つの部分の面積が等しくなる$a$の値を求めよ．

【２】　$▵\mathrm{ABC}$の周囲の長さが$36\text{，}▵\mathrm{ABC}$に内接する円の半径が$3$であるとする．点$\mathrm{Q}$が

$6\overrightarrow{\mathrm{AQ}}+3\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+2\overrightarrow{\mathrm{CQ}}=\overrightarrow{0}$

をみたすとき，$▵\mathrm{QBC}$の面積を求めよ．

【３-ア】　何も書かれていない$4$枚のカードが入った袋がある．この袋からカードを$1$枚とり出して以下のルールにしたがって処理を行い，その袋にもどす操作をくり返す．

ルール：第$n$回目（$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$）にとり出したカードが未記入ならば$n$と書いて袋にもどし，記入済みならばそのまま袋にもどす．

カードをとり出す操作を$4$回くり返したとき

(1)　$4$回目に未記入のカードがとり出される確率を求めよ．

(2)　$4$回目が終わったとき，カードに記入された数の和の期待値を求めよ．

【３-イ】　行列$X\text{，}Y$は

$X+Y=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& c\end{array}\right)\text{，}X-Y=\left(\begin{array}{cc}0& b\\ 0& -b\end{array}\right)$

をみたす．

(1)　$X^2-Y^2$を求めよ．

(2)　$X^2+Y^2$を求めよ．

(3)　$X^4-Y^4$を求めよ．

【４-ア】　$2$つの放物線$C_1:y=4x^2$と$C_2:y={(x-3)}^2$がある．$C_1$上の点$\mathrm{P}$での接線と$C_2$上の点$\mathrm{Q}$での接線が平行である．

(1)　$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$を通る直線は定点$\mathrm{A}$を通ることを示せ．

(2)　${\displaystyle \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AQ}}}$が一定であることを示せ．

【４-イ】　$\alpha >0$とする．$2$つの曲線$y=x^n$と$y=x^{2n}\text{（}x\geqq 0\text{）}$とで囲まれる図形を$D$とする．

(1)　$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．

(2)　$\alpha$を$\alpha >0$の範囲で動かすとき，$V$の最大値を求めよ．

【１】　$p\text{，}q$は$p>0\text{，}q>0\text{，}p+q=1$をみたす定数とする．$a_0=1\text{，}{b}_0=2$とし，$a_n\text{，}{b}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$を

$a_n=p{a}_{n-1}+q{b}_{n-1}$

$b_n=p{b}_{n-1}+q{a}_n$

により定める．

(1)　$c_n=b_n-a_n$とおくとき，$c_n$が等比数列であることを示せ．

(2)　$a_n$と$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

(3)　$b_n$と$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$を求めよ．

【２】　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$人の間で試合をくり返し，先に$3$回勝った者が優勝者となる．$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$それぞれが勝つ確率$p\text{，}q$はつねに一定で，$p>0\text{，}q>0\text{，}p+q=1$とする．

(1)　$\mathrm{A}$が優勝する確率を$V_{\mathrm{A}}$とする．${\displaystyle \frac{V_{\mathrm{A}}}{p}}$が最大となる$p$を求めよ．

(2)　$p=q$のとき，優勝者がきまるまでの試合数$X$の期待値を求めよ．

(3)　$2$勝$2$敗になったとき，その後の試合において先に$2$回多く勝った者が優勝者となるようにルールを変更する．このようにルールを変更したとき，優勝者がきまるまでの試合数を$Y$とする．$p=q$のとき，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{i=3}^n}iP(Y=i)$

を求めよ．ただし，$P(Y=i)$は$i$回目の試合で優勝者がきまる確率を表す．

【３】　$0<\alpha <\beta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$と$0<t<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$にたいし，ベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を

$\overrightarrow{a}=(1,-{\displaystyle \frac{1}{\cos \alpha }}{\displaystyle \frac{1}{\tan t}},-{\displaystyle \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }})$

$\overrightarrow{b}=(\sin \alpha \sin \beta +\cos \alpha \cos \beta \cos t,\cos \beta \sin t,\cos \alpha \sin \beta -\sin \alpha \cos \beta \cos t)$

$\overrightarrow{c}=(1,0,0)$

とする．$\overrightarrow{b}$と直交する平面を$H$とし，$\overrightarrow{c}$の$H$への射影を$\overrightarrow{d}$とする．$\overrightarrow{d}$と$\overrightarrow{a}$のなす角を$\theta \text{，}\overrightarrow{d}$と$\overrightarrow{c}$のなす角を$\varphi$とする．

(1)　$\left|\overrightarrow{b}\right|=1$を示せ．

(2)　$\overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3)$と表すとき，${|\overrightarrow{d}|}^2=1-{b_1}^2$を示せ．

(3)　$\alpha ={\displaystyle \frac{\pi }{6}}\text{，}\beta ={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$のとき，${\cos }^2\theta$を$\sin \varphi$で表せ．

　ただし，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$の平面$H$への射影とは，点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$から平面$H$へおろした垂線と平面$H$との交点を${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{Q}}_1$としたとき，$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_1{\mathrm{Q}}_1}$のことである．

【４】　正の値をとる関数$f(x)$が条件

$\log f(x)=\log f(\alpha )-n\cdots \text{①}$

をみたすとする．ただし，$n$は$x$の整数部分，$\alpha$は$x$の小数部分（$0\leqq \alpha <1$）である．

(1)　${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }}f(x+k)={\displaystyle \frac{f(x)}{e-1}}$を示せ．

(2)　$f(x)$が条件$\text{①}$に加えて，条件

$\log f(x)=\log f(n)-\alpha \cdots \text{②}$

をみたすとき，$f(x)={\displaystyle \frac{f(0)}{e^x}}$を示せ．